Induktion

27.10.2008, 19:02

Minzeee

Induktion

Ich kann hier eine Übungsaufgabe gar nicht lösen. Lerne Grade für eine Klausur und hier verzweifel ich wirklich dran.

Zeigen sie per Induktion über k: Seien k(>=2) Folgen gegeben mit

lim (n->unendlich) a(index n)^1= a^1
.....
lim (n->unendlich) a(index n)^k = a^k

Dann ist:

lim (n->unendlich) produkt von j=1 bis k a(index n) ^(j)= produkt von j=1 bis k a^(j)

Was gilt damit für den Grenzwert:

lim (n-> unendlich) (1+1/n)^k

und warum gilt nicht:

lim (n->unendlich) (1+ 1/n)= lim (n->unendlich) (1+1/n)*......*(1+1/n)
.....
=lim (n->unendlich) 1^n=1?

Bin so gut wie nie im Forum und deshalb kann ich noch kein Latex, hoffe es ist verständlich. Bitte um Hilfe.... ich kann es einfach nicht =(.

27.10.2008, 19:07

klarsoweit

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RE: Induktion

Zitat:

Original von Minzeee
lim (n->unendlich) a(index n)^k = a^k

Also ich schreibe dir das mal mit Latex: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~a_n^k = a^k \end{eqnarray*}$

Wie der Rest geht, mußt du selber rausfinden. Das kann man ja kaum entziffern. Schau auch in den Formeleditor oder in "Latex für Anfänger".

27.10.2008, 19:08

WebFritzi

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So wird dir keiner helfen. Verwende bitte den Formeleditor.

27.10.2008, 19:43

Miiin

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Zeigen sie per Induktion über k: Seien $\begin{eqnarray*} k(>=2) \end{eqnarray*}$ Folgen gegeben mit

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~a_n^1=a^1 \end{eqnarray*}$
.......
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~a_n^k=a^k \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~pi_{j=1}^k~a^j \end{eqnarray*}$

was gilt damit für den grenzwert

$\begin{eqnarray*} lim_{n\to \infty}~(1+\frac{1}{n})^k \end{eqnarray*}$

und warum gilt nicht

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty }~(1+(\frac{1}{n})^n= lim_{n \to \infty }~(1+(\frac{1}{n}) \cdot lim_{n \to \infty }~(1+(\frac{1}{n}).......... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~1^n= 1 \end{eqnarray*}$ ?
Ist das jetzt besser? Hab das so gut wie gar nicht gemacht, tut mir leid.

27.10.2008, 19:48

Miiin

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27.10.2008, 19:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Miiin
Dann ist $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~pi_{j=1}^k~a^j \end{eqnarray*}$

Hae? Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~\prod_{j=1}^k~a_n^j = \prod_{j=1}^k a^j. \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 19:59

Miiin

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ja, wusste aber nicht wie das Produktzeichen geht *ups....

27.10.2008, 20:59

Miiin

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kann mir denn jmd helfen??

28.10.2008, 05:06

WebFritzi

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Nur, wenn du deine Lösungsansätze bzw. Probleme postest.

28.10.2008, 09:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Miiin
Zeigen sie per Induktion über k: Seien $\begin{eqnarray*} k(>=2) \end{eqnarray*}$ Folgen gegeben mit

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~a_n^1=a^1 \end{eqnarray*}$
.......
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~a_n^k=a^k \end{eqnarray*}$

Irgendwie verstehe ich noch nicht ganz die Voraussetzung. Wenn ich das richtig interpretiere, dann haben wir doch eigentlich nur eine Folge (a_n) die gegen a konvergiert. Logischerweise konvergiert dann auch die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n^k) \end{eqnarray*}$ gegen a^k. Das brauche ich doch dann nicht voraussetzen. Es sei denn, das k soll irgendwie noch eine Art Index sein.

Was die Aussage $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\prod_{j=1}^k~a_n^j = \prod_{j=1}^k a^j \end{eqnarray*}$ angeht, so kannst du das mit vollständiger Induktion zeigen.

28.10.2008, 09:41

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Zitat:

Original von klarsoweit
Es sei denn, das k soll irgendwie noch eine Art Index sein.

So wird es sein, Minzeee hat ja auch von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Folgen gesprochen. Etwas deutlicher hätte es aber schon betont werden müssen, dass hier mit oberen Indizes statt Potenzen gearbeitet wird.

28.10.2008, 10:37

klarsoweit

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Wenn dem so ist, dann würde ich das ganze mal so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~a_{1,n} = a_1 \end{eqnarray*}$
.......
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~a_{k,n}=a_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\prod_{j=1}^k~a_{j,n} = \prod_{j=1}^k~a_j \end{eqnarray*}$

Nach wie vor zeigt man das mit vollständiger Induktion.

28.10.2008, 11:59

WebFritzi

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@klarsoweit: Ich finde auch, dass deine Notation besser ist. Aber wenn es nunmal so auf Miins Zettel steht, sollte man es IMHO auch so lassen.

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