Frobenius-Normalform zu geg. Minimalpolynom

07.08.2006, 11:40	Frobenius	Auf diesen Beitrag antworten »
Frobenius-Normalform zu geg. Minimalpolynom Ich glaube ich stehe heute morgen auf dem Schlauch. Könnte mir vielleicht jemand kurz erklären, wie ich zu dem folgenden Minimalpolynom eines Endomorphismus aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^5 \end{eqnarray}$ auf die Frobenius-Normalform komme: $\begin{eqnarray} m(t) = (t^2+8)(t-2)(t+2) \end{eqnarray}$ Ausgeschrieben ist ja $\begin{eqnarray} m(t) = t^4 + 4t^2 - 32 \end{eqnarray}$ , besitzt also die Nullstellen $\begin{eqnarray} \pm 2 \end{eqnarray}$ . Ach, jetzt bin ich total verwirrt. Würde mich über einen Hinweis freuen ...
07.08.2006, 12:06	Frobenius	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich habe vergessen das Polynom mit anzugeben: $\begin{eqnarray} p(t)%20=%20(t^2+8)(t-2)^2(t+2) \end{eqnarray}$ Ich hätte das jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -8 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0&0&0 \\ 0&0&2&0&0 \\ 0&0&0&2&0 \\ 0&0&0&0&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1) Ist das richtig? 2) Mal ganz banal ausgedrückt: Wie oft eine Begleitmatrix vorkommt wird durch die Vielfachheit des Faktors des Minimalpolynoms im "Ausgangspolynom" festgelegt? Könnte mir das vielleicht bitte jemand richtig erklären? Das muß ja mit Eigenräumen zusammenhängen...
07.08.2006, 15:19	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist nicht richtig so, du brauchst für die Frobeniusnormalform die Invariantenteiler. Bei dir sind das das Minimalpolynom und (t-2). Ein Kästchen ist also 2 (hast du ja auch), das einzige andere Kästchen ist die Begleitmatrix vom Minimalpolynom (das ist übrigens immer so, es kann nur noch mehr Kästchen geben, wenn es noch mehr Invariantenteiler gibt) mfG 20
07.08.2006, 18:26	Frobenius	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau Invariantenteiler sind muß ich mir noch anlesen (kanns mir zwar etwa vorstellen, bei uns ist der Begriff aber nicht gefallen). Aber dann stimmt die Matrix doch? Die 1x1-Matrix zu (t-2) wie du sagst und die Begleitmatrizen für das Faktorisierte Minimalpolynom. Vielleicht könntest du die Matrix kurz berichtigen?
07.08.2006, 19:42	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
du brauchst die begleitmatrix für das ausmultiplizierte polynom, nicht die 3 begeltimatrizen für jeden faktor!
07.08.2006, 21:26	Frobenius	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben aber aufgeschrieben: Sei $\begin{eqnarray} m = p_1^{e_1} p_2^{e_2}...p_r^{e_r} \end{eqnarray}$ die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , dann läßt sich $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ durch eine Blockdiagonalmatrix (hier die Frobenius-Normalform hindenken) beschreiben. Dabei sind die Blockmatrizen Frobeniusmatrizen zum Polynom $\begin{eqnarray} p_i^{k_i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1 \leq k_i \leq e_i \end{eqnarray}$ Für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ gehört mindestens ein $\begin{eqnarray} A_j \end{eqnarray}$ (=Blockmatrix) zu $\begin{eqnarray} p_i^{e_i} \end{eqnarray}$ . Die Blockmatrizen sind eindeutig bis auf die Reihenfolge. Interpretiere ich das jetzt total falsch oder kann man das hier nicht anwenden? Ich dachte, mein eigentliches Problem wäre das fettgedruckte "mindestens" - weil mir nicht klar ist, wie ich erkenne, wie viele es nun sind
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08.08.2006, 12:29	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann habt ihr das völlig anders definiert als wir. Machen wir mal ein Beispiel: Charpol = (x-1)^5, Minpol = x-1 das heißt, du brauchst 5 1er Kästchen mit einer 1 drin, aber das kann man am Minimalpolynom überhaupt nicht erkennen. Meiner Meinung nach fehlt in deiner Definition etwas. mfG 20

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