Cauchy-Folge

27.10.2008, 20:16

Surfer

Cauchy-Folge

Hallo miteinander!

Ich habe folgende Aufgabe:
[attach]8980[/attach]

zu a) habe ich die Frage, wie ich die Definition verifiziere - mit Indunktio? wenn ja, wie sähe der Induktionsanfang aus?

zu b) hier bekäme ich (-3/4) ...kann das vielleicht jemand nachrechnen? smile

Vielen Dank für Eure Antworten! smile

27.10.2008, 20:33

tmo

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Man kann leicht zeigen:

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-x_n|=\frac{1}{4}|x_n-x_{n-1}| \end{eqnarray*}$

Mit Induktion folgt:

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}-x_n|=\left(\frac{1}{4}\right)^n |x_1-x_0| \end{eqnarray*}$

Damit kannst du $\begin{eqnarray*} |x_n-x_m| \end{eqnarray*}$ geeignet abschätzen.

Zur b)
Der Grenzwert hängt von a und b ab.

Man kann zeigen, dass die Folge monoton ist. Finde heraus welche Monotonie in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n = \left(\frac{1}{4}\right)^n |x_1-x_0| \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n = -\left(\frac{1}{4}\right)^n |x_1-x_0| \end{eqnarray*}$

Sieht stark nach einer geometrischen Reihe aus Augenzwinkern

27.10.2008, 22:34

Surfer

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zu a)
Vielen Dank - das habe ich verstanden!
Nur: Wie kann ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mid x_n - x_m \mid < E \end{eqnarray*}$ ?

(weil daraus ja dann schliesslich folgt, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt)

zu b)
also ich vermute, dass es sich hier um eine monoton wachsende Folge handelt, aber ich bin mit der Herleitung nicht so sicher..hab einfach mal mit ein paar x-beliebigen Folgen probiert, was jedoch nicht sehr mathematisch ist smile

Und beim Schluss: Also gesucht ist ja der Grenzwert - wie komme ich von deiner Folgerung zum Grenzwert?

Vielen Dank für deine Geduld! smile

27.10.2008, 22:48

tmo

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Es ist

$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = |(x_m-x_{m-1}) + (x_{m-1}-x_{m-2}) + \dotsb + (x_{n+1}-x_n)| \end{eqnarray*}$

Hast du jetzt eine Idee? Auch hier das Stichwort: geometrische Reihe.

27.10.2008, 23:07

Surfer

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achsoo...
also das heisst: $\begin{eqnarray*} \mid x_m - x_n \mid = \mid ... \mid > E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} --> \mid x_n-x_m \mid = \mid ... \mid < E \end{eqnarray*}$

--> d.h. es ist eine Cauchy-Folge

27.10.2008, 23:09

tmo

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Zitat:

Original von Surfer
achsoo...
also das heisst: $\begin{eqnarray*} \mid x_m - x_n \mid = \mid ... \mid > E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} --> \mid x_n-x_m \mid = \mid ... \mid < E \end{eqnarray*}$

27.10.2008, 23:26

Surfer

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hmm...man kann also nicht das Eine aus dem Anderen folgern... =S ?

28.10.2008, 05:24

WebFritzi

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Stichwort: Dreiecksungleichung.

28.10.2008, 19:18

Surfer

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Hallo!
Also - durch die Dreiecksungleichung erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} [x_m-x_n] = \mid ... \mid \leq \mid (x_m-x_{m-1}) \mid - \mid (x_{m-1} + x_{m-2}) \mid + ... + \mid (x_{n+1} - x_n) \mid < (m+1)^{-1} + \mid (x_m - x_n) \mid + (n+1)^{-1} \end{eqnarray*}$

stimmt das?
wie kann ich nun die cauchy-folge konkret fertig beweisen?

Vielen Dank!

28.10.2008, 20:54

Surfer

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...des weiteren habe ich nun folgendes gemacht (für b, Grenzwert):

$\begin{eqnarray*} lim\mid x_m - x_n \mid = \mid x_m - x_n \mid \end{eqnarray*}$
Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \mid x_n - x_m \mid \leq \frac{1}{m+1} + \mid x_m - x_n \mid + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

...stimmt das?
Falls ja, wie sähe das denn mit meinen gegebenen Werten aus (habe nämlich Mühe, die Werte einzusetzen unglücklich

)

Vielen Dank für Eure Reaktionen! smile

28.10.2008, 22:48

Surfer

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PS: noch eine zusätzliche Frage: bei deinem ersten Beitrag - fehlt dort in der Klammer nich noch der Faktor 5?

29.10.2008, 00:24

Surfer

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ist noch jemand daa?
ich wäre uu froh, wenn ich das jetzt noch fertig machen könnte, denn morgen muss ich es abgegeben haben =(

29.10.2008, 00:26

tmo

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Zitat:

Original von Surfer
ist noch jemand daa?
ich wäre uu froh, wenn ich das jetzt noch fertig machen könnte, denn morgen muss ich es abgegeben haben =(

Davon bist du aber leider noch weit entfernt. Irgendwie bist du noch nichtmal ansatzweise dem Ziel näher gekommen.

Zitat:

Original von tmo
Es ist

$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = |(x_m-x_{m-1}) + (x_{m-1}-x_{m-2}) + \dotsb + (x_{n+1}-x_n)| \end{eqnarray*}$

Hast du jetzt eine Idee? Auch hier das Stichwort: geometrische Reihe.

Zitat:

Original von WebFritzi
Stichwort: Dreiecksungleichung.

Das muss doch jetzt irgendwie offensichtlich sein, wie du die Dreiecksungleichung jetzt anwendest.

29.10.2008, 00:32

Surfer

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ja, das hab ich doch gemacht (siehe oben)
oder ist das falsch?

29.10.2008, 00:40

tmo

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Woher nimmst du denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m+1} \end{eqnarray*}$ ?

Es ist

$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} (x_{k}-x_{k-1}) \right| \leq \sum_{k=n+1}^{m} |x_{k}-x_{k-1}| = \sum_{k=n+1}^{m} \left( \frac{1}{4}\right)^{k-1}|x_1-x_0| = \sum_{k=n+1}^{m} \left( \frac{1}{4}\right)^{k}4|x_1-x_0| \end{eqnarray*}$

Letzteres ist nun der Abstand zweier Folgenglieder der Partialsummenfolge einer geometrischen Reihe. Was ist über diesen Abstand bekannt?

29.10.2008, 00:48

Surfer

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dass der Abstand <E ist.

29.10.2008, 04:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} (x_{k}-x_{k-1}) \right| \leq \sum_{k=n+1}^{m} |x_{k}-x_{k-1}| = \sum_{k=n+1}^{m} \left( \frac{1}{4}\right)^{k-1}|x_1-x_0| = \sum_{k=n+1}^{m} \left( \frac{1}{4}\right)^{k}4|x_1-x_0| \end{eqnarray*}$

Letzteres ist nun der Abstand zweier Folgenglieder der Partialsummenfolge einer geometrischen Reihe. Was ist über diesen Abstand bekannt?

Ich würde es noch "leichter" machen:

$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| \le \sum_{k=n+1}^{m} \left( \frac{1}{4}\right)^{k}4|x_1-x_0| = 4|x_1-x_0| \sum_{k=n+1}^{m} \left( \frac{1}{4}\right)^{k} \le 4|x_1-x_0| \sum_{k=n+1}^{\infty} \left( \frac{1}{4}\right)^{k} \end{eqnarray*}$

@Surfer: Was soll denn bitte E sein? Wahrscheinlich Epsilon > 0. Und was für ein Epsilon ist das? Wo hast du das eingeführt?

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