Minimalpoly

07.08.2006, 16:29

kingskid

Minimalpoly

Hi!

Wie kann ich von dieser Abb.matrix A das Minimalpoly berechnen ohne das charakteristische Poly zu benutzen??

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

funktioniert das überhaupt`??

viele grüße

07.08.2006, 16:42

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Die Frage ist, warum du das willst. Im vorliegenden Fall kannst du doch das charakteristische Polynom bestimmen und dann unmittelbar erkennen, dass keine Mehrfachnullstellen vorkommen. Und damit ist ja dann alles klar.

07.08.2006, 17:12

JochenX

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Das geht prinzipiell schon, indem du es mit Ansätzen versuchst.

Ich nehme mal an, du befindest dich über einem Körper, dann ist das Minpol. in normierter Form zu wählen:
erster Versuch: f(X)=X+a kannst du schnell abhaken
f(X)=X^2+aX+b rechnenrechnenrechnen, kannst du dann auch abhaken

f(X)=X^3+aX^2+bX+c sollte dann eine Lösung liefern.

Ob das Sinn macht, ist dann eine andere Frage, siehe AD.

07.08.2006, 18:15

kingskid

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danke für die hints... heißt das ich muss dann jeweils für die "X" die abb.matrix einsetzen und dann schauen ob Null rauskommt?

hm, das ist ne alte klausuraufgabe, wo man das so machen soll, eigentlich über V = $\begin{eqnarray*} Z_2^3 \end{eqnarray*}$ - macht es dann mehr sinn?

aber dann müsste ich doch genauso vorgehen, wie du beschrieben hast LOED, oder?

ist das charakteristische Polynom dann f(x) = x³?

07.08.2006, 18:50

JochenX

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über dem F2 ist es natürlich auch mit Ansatz sehr einfach, hier hast du ja nur 0 oder 1 (bzw. deren Restklassen, wenn wir wieder genau sind!) als Koeffizient.

A^3 ist bei mir nicht 0, ich kann mich natürlich verrechnen.
Wie sehen denn bei dir A^2, A^3 aus? (blöde Frage, ich nehme an A^3=0)

Das Minpol. versuchst du dann wie oben durch, dabei musst du eben in IF2 rechnen und insb. hast du auch nur je 2 mögliche Koeffizienten, was das nachprüfen schneller macht.

07.08.2006, 19:13

kingskid

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d.h. ich muss z.B. ausprobieren:

f(X)= X +a , also

$\begin{eqnarray*} A + \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a+1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann für a 0 bzw 1 einsetzen?
... ja die restklassen verfolgen mich... =)

neh, für A³ hab ich:
$\begin{eqnarray*} A³ = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hast du das gleiche? ...wird bei mir auch nicht null, hab nicht das minimal- sondern das char. poly gemeint, auch wenn mans nicht verwenden soll, nur so aus neugier =)
aber da hab ich mich auch verrechnet, könnte das hinkommen:

char.Poly= $\begin{eqnarray*} det( \begin{pmatrix} x & 0 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x+1\end{pmatrix}) = x³-x²-2x+1 \end{eqnarray*}$ ?
d.h. die matrix ist dann aber gar nicht diagbar, oder?

07.08.2006, 19:37

JochenX

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ich biete bei A^3 eine andere Zahl an; ich habe an der Stelle "Z3,S1" eine 0 statt deiner 1 (kann genauso natürlich mein Rechenfehler sein).
Wenn A^3 nicht 0 ist, kann das Minpol. dann X^3 sein? Nö, weil für X A eingesetzt muss ja 0 sein.

Dass X+0, X+1 nicht das Minpol sein kann ist offensichtlich.
Versuchen wir dann X^2+aX+b

Für A^2 habe ich $\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Also wird X^2+aX+b, mit A eingesetzt zu:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}+a*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}+b*E_3=\begin{pmatrix} 1+b & 1 & 1+a \\ 1+a & 1+b & a \\ a & 1+a & 1+a+b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und offensichtlich wirst du für jede a/b-Belegung die obere 1 nicht weg.

Wenn ich mein A, A^2, A^3 anschaue kann ich das Minpol. sogar erraten.
X^3+X^2+1

Gruß

edit: mein Minpol. passt genau zu deinem char. Pol
beachte: in IF2 ist PLUS das gleiche wie MINUS, da alle Elemente selbstinvers bzgl.+
außerdem ist 2=0

edit: willst du Minpol oder char. Pol?
für letzteres könntest du mit Ansatz dann Probleme bekommen, wenn das Minpol einen echtkleineren Grad hat, denn unser Ansatz bestimmt nur das Minpol.

07.08.2006, 20:48

kingskid

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okay,.. .vielen dank für deine hilfe!

ich habs grad versucht nochmal zu rechnen, nun komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} A² =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
... wieder die gleiche... irgendwas mach ich da wohl falsch?!? traurig

$\begin{eqnarray*} A³ = =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was bekommst du denn raus und wie kannst du das minimalpoly davon ablesen oder erraten????

in der aufgabe soll man ja das minpoly rausbekommen, char. hat mich nur mal so dazu interessiert...

07.08.2006, 21:01

JochenX

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A^2 und A^3 haben wir jetzt gleich smile

die stimmen also (außerdem stimmt mein erratenes Minpol mit deinem obigen überein, also müssen meine Matrizenberechnungen auch richtig sein smile

)

Also relativ schnell sieht man (s.o.), dass f(X)=X^2+aX+b kein Minpol sein kann, da da nie die Nullmatrix rauskommen kann.
Dann versucht man eben f(X)=X^3+aX^2+bX+c, setz das doch mal gleich 0 und bestimme daraus a,b,c, das ist nicht mehr schwer.

Erraten konnte ich es, da ich gesehen habe, dass A^2-A^3 (bzw. in IF2 eben A^2+A^3) gerade die Einheitsmatrix ergibt.
Also ist A^2+A^3=E bzw. A^2+A^3+E=0 (erinnere E=-E)
Das war dann nur noch ein gutes Auge, aber du bekommst es auch durch gleich 0 setzen und a,b,c von Hand suchen.

07.08.2006, 21:28

kingskid

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oh cool, wenn man so ein gutes auge hat smile

d.h. a = 1, b=0 und c=1 ?

also minpoly(x) = x³+x²+1 ? ... stimmt passt zu dem char.poly für 2=0 in Z_2.

07.08.2006, 21:45

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
also minpoly(x) = x³+x²+1

ja, das stimmt
Du kannst dir jetzt selbst überlegen, was Vorteile von dieser Methode und der "normalen" sind.

Offensichtlich sind die Rechnungen, die wir angestellt haben, nicht so leicht, wenn wir einen anderen Körper haben, aber im IF2 ging es echt fix.
Für andere Körper, z.B. für IR, rate ich dir also von dieser Methode eher ab, beachte auch, dass du damit, falls Minpol ein echter Teiler des char Pols ist, du das char. Pol nicht rausbekommst.

Grüßle

08.08.2006, 08:52

kingskid

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okay danke dir vielmals! smile

viele grüße

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