Sigma-Algebra wird von einer Abbildung erzeugt?

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28.10.2008, 09:09	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra wird von einer Abbildung erzeugt? Guten Tag, kann mir jemand sagen, wie die von $\begin{eqnarray} f:=\|x\| \end{eqnarray}$ erzeugte $\begin{eqnarray} \sigma-Algebra \end{eqnarray}$ aussieht? Habe keine Ahnung wie das funktionieren soll.
28.10.2008, 12:00	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du uns schon näher erläutern, was die von einer Funktion f erzeugte Sigma-Algebra sein soll. Zitiere bitte deine Definition. Ist es evtl. die kleinste Sigma-Algebra, so dass f messbar ist?
28.10.2008, 18:45	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi WebFritzi, ja so steht es hier. Aber was mache ich damit?
29.10.2008, 03:55	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal sagst du uns bitte, von wo nach wo f überhaupt abbilden soll.
29.10.2008, 12:48	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, von $\begin{eqnarray} (\mathbb R, A) -> (\mathbb R, B) \end{eqnarray}$ , wobei A die kleinste Sigma-Algebra ist bzgl. dieser f messbar ist. B ist wohl die Borelsche-Sigma-Algebra.Wie sieht die von f erzeugte Funktion aus? Ich muss das noch für andere Funktionen machen, deshalb wäre es nett, wenn ich das an Hand einer mal sehen würde wie das funktioniert.
29.10.2008, 20:10	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: f(x) = x. Dann muss $\begin{eqnarray} M = f^{-1}(M) \end{eqnarray}$ fuer jede Borelmenge M in der von f erzeugten Sigma-Algebra liegen. Also ist die Borel-Sigma-Algebra eine Teilmenge der von erzeugten Sigma-Algebra. Da letztere aber die kleinste Sigma-Algebra sein soll, bezueglich der f messbar ist und f offenbar bezueglich der Borel-Sigma-Algebra messbar ist, ist die von f erzeugte Sigma-Algebra gerade die Borel-Sigma-Algebra. Wie sieht es jetzt mit f(x) = \|x\| aus? Ist f bezueglich der Borel-Sigma-Algebra messbar?
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29.10.2008, 21:00	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei f(x)=\|x\| bekomme ich als Bildpunkte nur Punkte im Intervall $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ , also angenommen ich nehme mir ein Intervall $\begin{eqnarray} [0,a) \end{eqnarray}$ her und gucke mir davon dass Urbild an, dann ist dies nicht eindeutig bestimmt. denn $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,a)) \end{eqnarray}$ ist entweder [0,a) oder [0,-a)
30.10.2008, 02:23	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum einen gibt es [0,-a) nicht. Und zum anderen gilt natürlich $\begin{eqnarray} f^{-1}([0,a)) = (-a,0]\cup[0,a) = (-a,a). \end{eqnarray}$
30.10.2008, 08:58	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also bekomme ich als Urbild kein Intervall, welches die Null nicht enthält, sondern immer symmetrische Intervalle um die Null. Damit kann ich dann sicherlich keine Borel-Sigma-Algebra erzeugen.
30.10.2008, 15:46	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum solltest du das nicht können? Man kann leicht beweisen, dass $\begin{eqnarray} \{f^{-1}(B) : B\;\mbox{ ist Borel-Menge\,}\} \end{eqnarray}$ eine Sigma-Algebra ist. Und das ist auch gerade die gesuchte. Außerdem kannst du mit allen Mengensystemen eine Sigma-Algebra erzeugen.
30.10.2008, 18:55	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo WebFritzi, wo kann ich das denn mal genau nachlesen? Hast du dafür zufällig Literaturvorschläge, ich nehme gerne auch Skripte die im Netz stehen oder ähnliches. Ich habe bisher im Bauer Maß-und Integrationstheorie gelesen, wirklich schlau werde ich aber noch nicht. Bei f(x)=sin(x) erhalte ich dann als Urbilder eines Intervalls ja eine Vereinigung von unendlich vielen Intervallen, nicht wahr?
30.10.2008, 20:33	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
ftp://ftp.math.tu-berlin.de/pub/Lehre/Ma...SS08/skript.pdf
31.10.2008, 08:12	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr.

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