Umkehrabbildung

28.10.2008, 14:48

DarkD

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Umkehrabbildung

Hi,

Sei $\begin{eqnarray*} f: X \longrightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine injektive Abbildung
und $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$

Zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} A=f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

Ich habe den Beweis zunächst in zwei Teile aufgeteilt.
Teil 1:

$\begin{eqnarray*} f(A) \in Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(f(A))\in X \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \subset f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

Teil 2:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \subset A \Rightarrow f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A)\in Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A))\in X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A)))\in Y \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} f(A)\in Y \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \subset A \end{eqnarray*}$

Kann ich das so beweisen? Bei Teil 1 bin ich mir eigentlich sicher, dass das so richtig ist, aber bei Teil 2 weiß ich nicht, ob ich $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \subset A \Rightarrow f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$ schreiben darf.

Kann mal irgendein Profi kurz drüber gucken und sagen, ob das OK ist oder ob ich das nochmal machen muss?
Danke schon mal im Voraus.

EDIT: f ist injektiv hinzugefügt

28.10.2008, 14:52

Jacques

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Hallo,

Vorab: Die Abbildung sollte doch injektiv sein, oder? Denn allgemein gilt der Satz nicht:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \qquad x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(\{ 2 \})) = f^{-1}(\{4\}) = \{-2, +2 \} \neq \{ 2 \} \end{eqnarray*}$

Siehe hier:

Injektivitätsbeweis

28.10.2008, 14:55

DarkD

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Ja, sorry hab ich total vergessen, da es in der Aufgabe vorher drin stand, aber nicht mehr in dieser Unteraufgabe.

f ist injektiv.

28.10.2008, 14:59

Dual Space

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RE: Umkehrabbildung

Zitat:

Original von DarkD
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(f(A))\in X \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \subset f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht. Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\subset B \end{eqnarray*}$ folgt noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ ist.

Noch ein formaler Hinweis. Du verwendest immer wieder das $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ -Zeichen, wo eigentlich ein $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ stehen sollte, denn $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ ist eine Menge.

Desweiteren hast du nirgens die Injektivität ausgenutzt, daher kann dein Beweis noch nicht stimmen.

28.10.2008, 15:02

DarkD

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RE: Umkehrabbildung

Zitat:

Original von Dual Space
Das stimmt so nicht. Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\subset B \end{eqnarray*}$ folgt noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ ist.

Warum solllte das nicht daraus folgen?

Das mit den $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ liegt wohl, daran dass ich das eh ein bisschen anders aufschreiben werden. Sorry ich hätte das hier ausfühlicher darstellen sollte nur dachte ich, je länger der Beitrag desto weniger lesen ihn.

28.10.2008, 15:03

Jacques

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Bei Teil 1 bringst Du die Element- und die Teilmengenbeziehung durcheinander:

f(A) und f-1(A) sind keine Elemente von Y bzw. X, sondern Teilmengen.

Siehe Dir den Beweis im Link doch mal an.

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28.10.2008, 15:07

Dual Space

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RE: Umkehrabbildung

Zitat:

Original von DarkD

Zitat:

Original von Dual Space
Das stimmt so nicht. Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\subset B \end{eqnarray*}$ folgt noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ ist.

Warum solllte das nicht daraus folgen?

Sorry Tippfehler. Eigentlich sollte das heißen:

Das stimmt so nicht. Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\subset B \end{eqnarray*}$ folgt noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} A\subset C \end{eqnarray*}$ ist.

28.10.2008, 15:08

Jacques

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@ Dual Space: Möchtest Du hier also weitermachen? Denn gleichzeitige Hilfe verwirrt meistens eher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2008, 15:10

Dual Space

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Zitat:

Original von Jacques
@ Dual Space: Möchtest Du hier also weitermachen? Denn gleichzeitige Hilfe verwirrt meistens eher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nee ... mach du ruhig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2008, 15:11

DarkD

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RE: Umkehrabbildung

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von DarkD

Zitat:

Original von Dual Space
Das stimmt so nicht. Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\subset B \end{eqnarray*}$ folgt noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ ist.

Warum solllte das nicht daraus folgen?

Sorry Tippfehler. Eigentlich sollte das heißen:

Das stimmt so nicht. Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\subset B \end{eqnarray*}$ folgt noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} A\subset C \end{eqnarray*}$ ist.

OK, das ist klar.

Ich hab mir jetzt:
Injektivitätsbeweis
durchgelsen, aber geht das nicht einfacher zu zeigen, indem ich die Gleichheit durch die Teilmengenbeziehung zeige?

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von Jacques
@ Dual Space: Möchtest Du hier also weitermachen? Denn gleichzeitige Hilfe verwirrt meistens eher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nee ... mach du ruhig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Könnt auch ruhig beide weitermachen. Je mehr desto besser :-)

28.10.2008, 15:19

Jacques

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RE: Umkehrabbildung

Zitat:

Original von DarkD

Ich hab mir jetzt:
Injektivitätsbeweis
durchgelsen, aber geht das nicht einfacher zu zeigen, indem ich die Gleichheit durch die Teilmengenbeziehung zeige?

Möglicherweise, aber ich habe noch keine konkrete Idee dafür. Du?

Die Richtung

$\begin{eqnarray*} A \subseteq f^{-1}f(A) \end{eqnarray*}$

kann man wahrscheinlich relativ leicht zeigen, weil sie auch ohne Injektivität gilt.

Aber die umgekehrte wird m. E. nicht einfacher als der Beweis im anderen Thread.

Außerdem: Muss man nur zeigen, dass aus der Injektivität die Beziehung f-1(f(A)) folgt? Oder auch die umgekehrte Richtung?

28.10.2008, 15:25

DarkD

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Ich muss nur zeigen, dass diese Beziehung gilt. f ist einfach ganz normal injektiv.

Ich ersetz jetzt erstmal die Hälfte aller $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$
Sofern ich den Beitrag mal editieren dürfte ...

28.10.2008, 15:29

Jacques

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Fange den Beweis lieber nochmal an. Denn Du hast, wie gesagt, die Injektivität gar nicht ausgenutzt, obwohl sie notwendig für den Satz ist.

28.10.2008, 15:35

DarkD

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OK, mach ich. Aber vorher noch eine Frage:

Ist

$\begin{eqnarray*} A=B \Rightarrow f(A)=f(B) \end{eqnarray*}$
richtig? (A und B sind Teilmengen der Definitionsmenge von f)

28.10.2008, 15:39

Jacques

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Ja, das ist richtig. (Die umgekehrte Richtung gilt aber nur bei Injektivität)

28.10.2008, 15:46

DarkD

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Dann ist ja gut. Also ich halt noch an meiner Basisidee fest.

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \subset A \end{eqnarray*}$

Da f injektiv ist kann ich auch zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} f(a)\in Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(a)) \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(a))) \in Y \end{eqnarray*}$ (Linke Seite)

$\begin{eqnarray*} f(a)\in Y \end{eqnarray*}$ ist auch in Y (Rechte Seite)

Also ist:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste das auch mit den $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Zeichen passen.

28.10.2008, 16:02

Jacques

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Das ist noch nicht richtig:

Du müsstest auf jeden Fall zuerst eine Begründung aufschreiben, bevor Du mit der Umkehrfunktion f-1 arbeiten kannst.

Der Schluss

$\begin{eqnarray*} f(a) \in Y \ \Rightarrow\ f^{-1}(f(A)) \in X \end{eqnarray*}$

funktioniert doch nur dann, wenn überhaupt eine Umkehrfunktion existiert.

Und die zweite Sache:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$

ist noch nicht die zu beweisende Aussage. Es muss ja noch irgendetwas nachfolgen.

28.10.2008, 16:13

DarkD

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Zitat:

Original von Jacques
Das ist noch nicht richtig:

Du müsstest auf jeden Fall zuerst eine Begründung aufschreiben, bevor Du mit der Umkehrfunktion f-1 arbeiten kannst.

Der Schluss

$\begin{eqnarray*} f(a) \in Y \ \Rightarrow\ f^{-1}(f(A)) \in X \end{eqnarray*}$

funktioniert doch nur dann, wenn überhaupt eine Umkehrfunktion existiert.

Heißt das f muss doch bijektiv sein? Mit f^{-1} mein ich auch eigentlich die Umkehrabbildung und die existiert laut meinem Prof. immer.

Zitat:

Original von Jacques
Und die zweite Sache:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \end{eqnarray*}$

ist noch nicht die zu beweisende Aussage. Es muss ja noch irgendetwas nachfolgen.

Daraus würde folgen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \subset A \end{eqnarray*}$ gilt übrigens nur da f injektiv ist, also hab ich das schonmal benutzt :-)

Wenn ich dann noch die andere Richtung beweise $\begin{eqnarray*} A \subset f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray*}$ welche deutlich einfacher zu beweisen ist, dann müsste ich fertig sein mit dem Beweis.

28.10.2008, 16:26

Jacques

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Zitat:

Original von DarkD

Heißt das f muss doch bijektiv sein? Mit f^{-1} mein ich auch eigentlich die Umkehrabbildung und die existiert laut meinem Prof. immer.

Also die Umkehr-Relation existiert immer. Aber sie braucht keine Funktion zu sein.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) = \ldots \end{eqnarray*}$ ist aber nur bei Funktionen gerechtfertigt.

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\qquad x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Was sollte jetzt z. B. der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(-4) \end{eqnarray*}$

bezeichnen? Und was der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(4) \end{eqnarray*}$

?

Zitat:

Original von DarkD

Daraus würde folgen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) \subset A \end{eqnarray*}$ gilt übrigens nur da f injektiv ist, also hab ich das schonmal benutzt :-)

Aber warum gilt bei Injektivität

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(f(A))) \subset f(A) \ \Rightarrow\ f^{-1}(f(A)) \subset A \end{eqnarray*}$

Du musst das ja auch begründen.

28.10.2008, 16:39

DarkD

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Injektivität heißt ja nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$
Und das folgt wiederrum direkt aus der Definition.

Sollte ich dann lieber $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{a\}) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(a) \end{eqnarray*}$ schreiben, damit jeder weiß, dass ich die Umkehrabbildung und nicht die Umkehrfunktion meine?

28.10.2008, 16:50

Jacques

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Ich glaube, Dir ist der Unterschied zwischen

$\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$

(a ist ein Objekt der Definitionsmenge)

und

$\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$

(A ist eine Menge)

noch nicht klar. Genauso bei f-1(a) und f-1(A).

Der Ausdruck f(a) bezeichnet das eindeutig bestimmte Element der Zielmenge, dem a zugeordnet wird.

f(A) hingegen ist die Menge aller Funktionswerte, deren Stellen in A liegen:

$\begin{eqnarray*} f(A) := \{y \in Z_f \,|\, \textrm{es gibt ein } x \in A\textrm{, sodass } f(x) = y \} \end{eqnarray*}$

(Zf ist die Zielmenge der Funktion)

Also der Schluss

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \ \Rightarrow\ x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

ist ein ganz anderer als

$\begin{eqnarray*} f(A) = f(B) \ \Rightarrow\ A = B \end{eqnarray*}$

Du musst erst noch beweisen, dass der zweite aus dem ersten folgt.

28.10.2008, 16:59

DarkD

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Induktiv ist mir klar, dass aus

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \ \Rightarrow\ x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(A) = f(B) \ \Rightarrow\ A = B \end{eqnarray*}$

folgt.

Aber wie ich das ich beweisen soll ... keine Ahnung

Mal angenommen ich könnte dies aber beweisen, dann ist doch das was ich oben geschrieben hab, soweit richtig oder? (bis auf f(a) und f({a}) um zu verdeutlichen, dass die Umkehrabbildung gemeint ist).

Ich weiß auch nicht wie genau der Tutor, das haben will, aber ich denke bis in jedes Detail muss ich das wohl nicht beweisen.

28.10.2008, 17:19

Jacques

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Zitat:

Original von DarkD

Ich weiß auch nicht wie genau der Tutor, das haben will, aber ich denke bis in jedes Detail muss ich das wohl nicht beweisen.

Der Schritt, den Du jetzt einfach so lassen willst, ist aber wohl der Kernsatz Deines Beweises. Das andere ist ja nur mehr oder weniger „Vorgeplänkel“. Wenn Du bei dem entscheidenden Schritt den Nachweis weglassen willst, ist der ganze Beweis nicht mehr sehr überzeugend.

Und wenn Du doch den Nachweis machen willst, wird das wahrscheinlich nicht einfach und die Beweislänge wächst noch weiter an. Vielleicht ist der Beweis, den ich im anderen Thread vorgeschlagen habe, doch besser:

Zitat:

Sei f injektiv. Dann gilt für alle x1, x2 aus X: $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \ \Longleftrightarrow\ x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Sei A eine Teilmenge von X:

Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(A) = \{y \in Y \,|\, \exists z \in A (f(z) = y) \} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(A)) = \{x \in A \,|\, f(x) \in f(A) \} = \{x \in A \,|\, \exists z \in A(f(z) = f(x)) \} \end{eqnarray*}$

Und jetzt nur noch ausnutzen, dass f(z) = f(x) <=> z = x gilt. Dann kommst Du wieder auf die Menge A.

Zu der Umkehrabbildung:

„f-1({a})“ ist keine geeignete Ersatzschreibweise für „f-1(A)“, wenn f nicht umkehrbar ist. Denn das eine bezeichnet, wie gesagt, eine Zahl o. ä., das andere hingegen eine Menge.

Außerdem kannst Du ja den Ausdruck f-1(a) passend definieren:

Du definierst eine bijektive Funktion f*, indem Du die Zielmenge von f so einschränkst, dass f surjektiv ist:

$\begin{eqnarray*} f^{\ast}\colon\, X \mapsto W_f \qquad x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$

Und dann definierst Du:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) := \left(f^{\ast}\right)^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du oben alles so lassen und musst eben nur diese Definition dazuschreiben.

[sofern Du mit Deinem Ansatz weitermachen möchtest]

29.10.2008, 17:50

DarkD

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Jemand eine Idee oder eine Ansatz für den Beweis?
Meine Beweiseidee hab ich komplett verworfen, da sie kompletter Blödsinn ist.
Den Beweis aus dem Link versteh ich leider nicht :-(

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