momenterzeugende Funktion bei Exponentialverteilung

28.10.2008, 14:35

schlumpfine

momenterzeugende Funktion bei Exponentialverteilung

Hallo,

ich habe eine Frage:
Durch $\begin{eqnarray*} Mx(t)= E(e^{tX}) \end{eqnarray*}$ wird ja die momenterzeugende Funktion einer ZV definiert. Wenn ich jetzt Mx(t) berechnen will:
$\begin{eqnarray*} E(e^{tX})= \int_{-\infty}^{\infty}~e^{tX}*f(x)~dx= [1/t*e^{tX}*f(x)*x]_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Was muss ich jetzt weiter machen, hänge hier fest?

Vielen Dank für jede Hilfe

28.10.2008, 15:22

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Zitat:

Original von schlumpfine
$\begin{eqnarray*} E(e^{tX})= \int_{-\infty}^{\infty}~e^{tX}*f(x)~dx= [1/t*e^{tX}*f(x)*x]_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Das ist bereits falsch: $\begin{eqnarray*} 1/t*e^{tX}*f(x)*x \end{eqnarray*}$ ist keine Stammfunktion deines Integranden - du tust ja so, als wäre $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ eine Konstante bzgl. der Integrationsvariablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , was sie natürlich nicht ist!!!

Also bitte die konkrete Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Exponentialverteilung einsetzen, und richtig (!!!) integrieren.

28.10.2008, 17:29

schlumpfine

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$\begin{eqnarray*} E(e^{tx})= \int_{-\infty}^{\infty}~e^{tx}*\lambda*e^{-\lambda*x}~dx =[e^{tx}* e^{-\lambda*x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}~te^{tx}*(-e^{-\lambda*x)}~dx \end{eqnarray*}$

Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg?

29.10.2008, 15:10

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Originell, das über partielle Integration anzugehen. Augenzwinkern

Üblicher wäre allerdings, gleich die Potenzgesetze anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} e^{tx} \cdot e^{-\lambda x} = e^{tx-\lambda x} = e^{-(\lambda-t)x} \end{eqnarray*}$

Und es wird hier stets nur von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ integriert, da die Dichte auf der negativen Achse gleich Null ist.

29.10.2008, 17:03

schlumpfine

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Ok.

also dann hab ich

$\begin{eqnarray*} E(e^{tx})= \int_{0}^{\infty}~e^{x(t-\lambda)}dx= [\lambda/(t-\lambda)e^{x(t-\lambda)}]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann meine Grenzen einsetze bekomm ich

$\begin{eqnarray*} E(e^{tx})= \lambda/(t-\lambda)e^{\infty(t-\lambda)} - \lambda/(t-lambda)e^{0(t-\lambda)} \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lambda/(t-lambda)e^{0(t-\lambda)} \end{eqnarray*}$ konvergiert dann gegen $\begin{eqnarray*} \lambda/(t-\lambda) \end{eqnarray*}$ , oder?

Und der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lambda/(t-\lambda)e^{\infty(t-\lambda)} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ > t und wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ < t dann konvergiert er gegen unendlich

Stimmt das so???

29.10.2008, 17:35

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Richtig. Für die Berechnung der Momente ist aber eh nur der Fall kleinerer $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (also in einer Umgebung der Null) von Interesse. D.h., es interessiert nur der Fall $\begin{eqnarray*} t<\lambda \end{eqnarray*}$ .

29.10.2008, 18:30

schlumpfine

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Supi, vielen Dank!!!

Ich hätte da noch ne Frage:
Wenn $\begin{eqnarray*} M(x)^{k}(t) \end{eqnarray*}$ die k-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} M(x)(t) \end{eqnarray*}$ bezeichnet, dann ist $\begin{eqnarray*} M(x)^{k}(0)= E(X^{k}) \end{eqnarray*}$
bei k=0 ist $\begin{eqnarray*} E(X^{k})=1 , da X^{0}=1 \end{eqnarray*}$ und wenn ich bei $\begin{eqnarray*} E(e^{tx}) \end{eqnarray*}$ t=0 setze erhalte ich $\begin{eqnarray*} -\lambda/-\lambda=1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das jetzt an den Stellen k=1 und k=2 zeigen?

29.10.2008, 19:37

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Was willst du für k=1 und k=2 zeigen? Ich dachte, du willst die Ableitungen ausrechnen, und zwar über

$\begin{eqnarray*} E(X^k) = M_X^{(k)}(0) \end{eqnarray*}$ ,

also die k-te Ableitung deiner eben berechneten Funktion $\begin{eqnarray*} M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda-t} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ .

29.10.2008, 22:16

schlumpfine

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also ich möchte zeigen, dass die k-te Ableitung $\begin{eqnarray*} M_X^k= E(X^k) \end{eqnarray*}$ an der Stelle t=0 für k=0,1,2 ist

Für k=0 ist $\begin{eqnarray*} E(X^0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_X^{0}=1 \end{eqnarray*}$

Für k=1 und k=2 weiss ich nicht so recht was ich machen soll

Ich hoffe ich habe es jetzt etwas besser erklärt

29.10.2008, 22:52

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Na einfach $\begin{eqnarray*} M_X(t) = E\left( e^{tX} \right) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten!

$\begin{eqnarray*} M_X'(t) = E\left( \frac{\dd}{\dd t}e^{tX} \right) = E\left( Xe^{tX} \right) \end{eqnarray*}$ ,

woraus $\begin{eqnarray*} M_X'(0) = E\left( Xe^{0\cdot X} \right) = E(X) \end{eqnarray*}$ folgt. Genauso dann

$\begin{eqnarray*} M_X''(t) = E\left( \frac{\dd}{\dd t}(Xe^{tX}) \right) = E\left( X^2e^{tX} \right) \end{eqnarray*}$ ,

usw. Aber das ist doch die allgemeine Theorie, nicht nur für die hier vorliegende Exponentialverteilung gültig.

30.10.2008, 11:25

schlumpfine

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Vielen Dank für die tolle Hilfe

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