Konvergenz und Grenzwert eine Folge

28.10.2008, 19:10

eierkopf1

Konvergenz und Grenzwert eine Folge

Hallo!

Ich habe wieder mal ein Problem: Das 1. Übungsbeispiel zur Konvergenz und Grenzwert.

Ich weiß nicht, wie ich das mathematisch und vorallem formal richtig angehen soll:

"Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \{ a_n \} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n^2 + n }-n \end{eqnarray*}$ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert a. Existiert eine Konstante A, so dass gilt: $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \frac{A}{n} \end{eqnarray*}$ ?"

Durch einsetzen großer n, bin ich auf den Grenzwert 0,5 gekommen.

Aber wie zeige ich das richtig?

Durchgenommene Themen: Cauchy-Folgen, Monotoniekriterium, Intervallschachtelungen.

mfg

28.10.2008, 19:15

Dual Space

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RE: Konvergenz und Grenzwert eine Folge
Wenn du eine Vermutung über den Grenzwert hast, dann eignet sich immer das Epsilon-Delta-Kriterium um diese zu bestätigen.

28.10.2008, 19:16

system-agent

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Betrachte auch
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2-n}-n=(\sqrt{n^2-n}-n)\frac{\sqrt{n^2-n}+n}{\sqrt{n^2-n}+n} \end{eqnarray*}$
und die dritte binomische Formel.

28.10.2008, 19:23

eierkopf1

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Danke für die Antworten!

@Dual Space
Dieses Kriterium kenne ich noch nicht, daher will ich es mit einer anderen Methode zu lösen versuchen.

@system-agent
Keine Ahnung was ich damit anfangen soll unglücklich

mfg

28.10.2008, 19:25

system-agent

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Dual Space meinte ja auch nur das Epsilon-Kriterium smile

Das ist anders gesagt einfach die Definition des Grenzwertes.

Was ich dir gesagt habe ist eine komplizierte Umschrift, auf welche du die Grenzwertsätze anwenden könntest um auf eine Vermutung zu kommen [zumindest ist es eine Vermutung bis ihr diese Sätze ordentlich gezeigt habt Augenzwinkern

]

28.10.2008, 19:25

Dual Space

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Zitat:

Original von system-agent
Dual Space meinte ja auch nur das Epsilon-Kriterium smile

Stimmt.

28.10.2008, 19:26

system-agent

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@Dual Space
Es ist bloss eine Folge smile

28.10.2008, 21:00

eierkopf1

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OK. Ich versuchs mal mit der Grenzwertdefinition:

Grenzwert a:
$\begin{eqnarray*} \exists N_{\epsilon} \in \mathbb N \forall n > N_{\epsilon} : \mid a_n - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Dann setze ich für n= 3
$\begin{eqnarray*} a_3 = 0.4641 \end{eqnarray*}$ (gerundet)

Der Abstand von $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ und a ist 0.0359.

Jetzt wähle ich mein Epsilon zB $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0.04 \end{eqnarray*}$ (größer als der Abstand)

Dann berechne ich n=10 und sehe, dass der Abstand kleiner geworden ist und natürlich kleiner als mein Epsilon ist.

Dann noch für n=100 und sehe das gleiche wie oben...

Damit ist laut Definition a = 0.5 ein Grenzwert.

Habe ich das so richtig gezeigt? Oder wie könnte ich es formal perfekt zeigen?

mfg

28.10.2008, 21:02

system-agent

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Was tust du da?
Schreib erstmal auf wie du die Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge verstehst, denn ich fürchte du hast es nicht verstanden.

28.10.2008, 21:13

eierkopf1

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Ich verstehe die Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge so:

Es gibt eine Zahl $\begin{eqnarray*} N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ für die nachfolgenden(größeren) n gilt, dass der Abstand zwischen dem Grenzwert (den muss ich also vorher wissen/berechnet/angenommen haben) und dem n-ten Glied kleiner als ein Epsilon ist.

Dh, endliche viele Glieder liegen außerhalb des Intervals $\begin{eqnarray*} (a - \epsilon , a + \epsilon) \end{eqnarray*}$ und fast alle liegen innerhalb. Also die n-ten Glieder, wo $\begin{eqnarray*} n > N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ gilt, liegen in diesem Intervall bzw. die Glieder verdichten sich um den Grenzwert a.

Stimmt so, oder?

mfg

28.10.2008, 21:20

system-agent

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Naja, es ist gibt ein Fehler in deinem Verständnis:

Im Prinzip geht es so:
Jemand sagt dir wie nahe er die Folgenglieder der Folge am Grenzwert haben will [er gibt dir einen Abstand $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ] und du sagst ihm den Preis ab wann es erfüllt ist, also du gibst ihm einen Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , ab dem ALLE weiteren Folgenglieder näher als sein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ am Grenzwert liegen [man schreibt dann oft $\begin{eqnarray*} N=N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ um zu betonen, dass dieses $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von der Wahl von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängt].
Will der Jemand einen kleineren Abstand, dann muss er mehr bezahlen, also grössere Indizes nutzen.

Nun hat die Folge den Grenzwert, wenn du es IMMER schafft, solch ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ anzugeben, egal welches $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ dir vorgelegt wird.

Das kommt in der Definition dann so:
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ hat den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} N_{\epsilon}\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt so, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n\geq N_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Das heisst im Beweis fangst du so an:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Wähle dann $\begin{eqnarray*} N_{\epsilon}=... \end{eqnarray*}$

29.10.2008, 12:33

eierkopf1

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Danke für die super Erklärung.

Leider weiß ich nicht, wie es da weiter gehen soll:
"Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Wähle dann $\begin{eqnarray*} N_{\epsilon}=... \end{eqnarray*}$ "

Welches konkrete $\begin{eqnarray*} N_{\epsilon}=... \end{eqnarray*}$ soll ich wählen?

Ich habe jetzt aber noch deinen Tipp mit dem Erweitern von oben weiterverfolgt und denke, dass ich so auf das Ergebnis komme:

Ich erweitere auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{ ( \sqrt{n^2 + n} - n)( \sqrt{n^2 + n} + n)} { ( \sqrt{n^2 + n} + n) } \end{eqnarray*}$

Multipliziere es aus und fasse zusammen. Dann hebe ich in der Nenner-Wurzel $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ heraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{n} { \sqrt{n^2 (1 + \frac{^1}{n}}) + n } \end{eqnarray*}$

Daher kann ich die Wurzel teilen und die erste Wurzel fällt weg:
$\begin{eqnarray*} \frac{n} { n \cdot \sqrt{1 + \frac{^1}{n}} + n } \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich durch n kürzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1} { \sqrt{1 + \frac{^1}{n}} + 1 } \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Teil, bei dem ich nicht sicher bin, ob es formal korrekt ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{n}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n}) = 1 \end{eqnarray*}$

Wegem dem Wurzelsatz gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\sqrt{1 + \frac{^1}{n}}) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1) = 1 \end{eqnarray*}$

Dann in einen Term zusammengefügt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1} { \sqrt{1 + \frac{^1}{n}} + 1 }) = \lim_{n \to \infty } (\frac{\lim_{n \to \infty } (1) } {\lim_{n \to \infty } (\sqrt{1 + \frac{^1}{n}}) + \lim_{n \to \infty } (1) }) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich das formal so schreiben?

mfg

29.10.2008, 13:10

klarsoweit

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Also wenn, dann so (der Limes vor dem Bruch ist unnötig, da du den ja schon in Zähler und Nenner gezogen hast):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1} { \sqrt{1 + \frac{^1}{n}} + 1 }) = \frac{\lim_{n \to \infty } (1) } {\lim_{n \to \infty } (\sqrt{1 + \frac{^1}{n}}) + \lim_{n \to \infty } (1) }) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich würde aber nach den gemachten Vorbemerkungen ohne weiteres auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1} { \sqrt{1 + \frac{^1}{n}} + 1 }) = \frac{1} {\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

akzeptieren.

29.10.2008, 13:14

eierkopf1

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Danke für die Antwort und alles klar Prost

Weißt du, wie ich das mit der Grenzwertdefinition formal richtig zeigen kann?

mfg

29.10.2008, 13:38

klarsoweit

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Ich fürchte, das artet in eine wüste Rechnerei aus. Deswegen wendet man ja gerade Grenzwertsätze an, um sich sowas zu ersparen.

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Konvergenz und Grenzwert eine Folge

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