substitution

Für die Substitutionsvariable

$\begin{eqnarray*} u = x^3 \end{eqnarray*}$

gibt es zwei Lösungen, denn nach der Substitution erhält man eine quadratische Gleichung.

Für die Gleichung selbst gibt es sechs Lösungen, wenn auch vielleicht einige davon zusammenfallen.

Also es kommt nicht darauf an, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind. Sondern darauf, welchen Grad die Gleichung nach der Substitution hat.

smile

// edit:

Zitat:

Original von Jacques

Für die Gleichung selbst gibt es sechs Lösungen, wenn auch vielleicht einige davon zusammenfallen.

... oder nicht reell sind. Die Gleichung hat vier reelle Lösungen.

28.10.2008, 21:05

Vans

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6 lösungen ?hätte ich nicht gedacht.

u1=-0,5+2=1,5
u2=-0,5-2=-2,5

28.10.2008, 21:10

Jacques

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Zitat:

Original von Vans

6 lösungen ?hätte ich nicht gedacht.

Ich habe schon korrigiert: Vier reelle Lösungen.

Zitat:

Original von Vans

u1=-0,5+2=1,5
u2=-0,5-2=-2,5

Das ist nicht richtig:

Die Gleichung lautet nach der Subtitution:

$\begin{eqnarray*} u^2 + u - 3 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Anwendung der pq-Formel ergibt:

$\begin{eqnarray*} u_{1, 2} = -\tfrac{1}{2} \pm \sqrt{\tfrac{1}{4} + 3} = -\tfrac{1}{2} \pm \sqrt{\tfrac{13}{4}} \end{eqnarray*}$

Also man bekommt „krumme“ Lösungen.

28.10.2008, 21:27

Vans

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IL={-2,3;2,3;1,3;-1;3}

alles ungefähre werte.

28.10.2008, 21:36

Jacques

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Ja, aber sehr ungefähre Werte. Augenzwinkern

Warum nicht die exakten nehmen?

$\begin{eqnarray*} u_1 = \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2 = -\frac{\sqrt{13} + 1}{2} \end{eqnarray*}$

Also einmal

$\begin{eqnarray*} x^3 = \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \ \Longleftrightarrow\ x = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{13} - 1}{2}} \approx 1{,}1 \end{eqnarray*}$

und zweitens

$\begin{eqnarray*} x^3 = -\frac{\sqrt{13} + 1}{2} \ \Longleftrightarrow\ x = - \sqrt[3]{\frac{\sqrt{13} + 1}{2}} \approx -1{,}3 \end{eqnarray*}$

Und es sind doch nur zwei reelle Lösungen. Finger1

28.10.2008, 21:43

Vans

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was sidn reele lösungen? verwirrt

28.10.2008, 21:49

Jacques

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Reelle Lösungen sind Lösungen aus der Menge der reellen Zahlen, also aus R.

// Jetzt verstehe ich auch, was Du vorhin mit dem ungeraden Exponenten meintest. Du hast Recht: Wenn man eine eine Potenz mit ungeradem Exponenten substituiert, dann bekommt man am Ende für x genausoviele Lösungen wie für die Substitutionsvariable.

Tut mir leid, dass ich das vorher nicht so erfasst habe. unglücklich

28.10.2008, 21:54

Vans

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macht nichts.!

danke für deine hilfe.

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