(Un-) Gleichungen, Primzahlen und ggT

01.06.2004, 11:09

prinzessin

(Un-) Gleichungen, Primzahlen und ggT

Hallo bin gerade voll im Stress weil meine Matheprüfung schon bald vor der Tür steht und bei manchen Aufgaben seh ich einfach kein Lichtblick wie ich sie lösen soll oder wo überhaupt der Ansatz liegt! Könnt ihr mir helfen?

1. Wenn n keine Primzahl ist, dann ist auch
$\begin{align*} 2^n \end{align*}$ -1 keine Primzahl. (Hinweis: Sei n= t*m. Betrachten sie die geomatrische Reihe $\begin{align*} \Bigsum_{k=0}^m-1~(2^t)^k \end{align*}$ )

2. Sei p prim. Zeigen Sie:
a) p\ $\begin{align*} $\array{p\\k}$ fuer alle k \in \{1,...,p-1\} \end{align*}$
b) $\begin{align*} $x+y$^p \equiv x^p+y^p $mod p$ \end{align*}$ .

3. Zeigen Sie:
a) ggT(ggT(a,b),c)= ggT(a,ggT(b,c)),
b) ggT(km,kn)= k*ggT(m,n).

4. Die Dezimaldarstellung einer Zahl $\begin{align*} z\in \calN \end{align*}$ habe die Form z= zn-1 ... z1z0, wobei die Ziffern zi aus {0,1,...,9} sind. Zeigen Sie: $\begin{align*} 11\ z <=> 11\ (z0-z1+z2-+ ...+(-1)^n^-^1 zn-1) \end{align*}$ .

5. Lösen Sie die Gleichung $\begin{align*} 9x\equiv 17 (mod220) \end{align*}$ .

6. Teilt man die Stundenten eines Semestern in Gruppen z je 7 ein, so bleiben 2 Studenten übrig. Teilt man sie in Gruppen zu je 12 ein, so bleiben 3 Studenten übrig. Wieviele Studenten sind es?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte, denn diese Aufgaben denke ich haben es sehr in sich!
Vielleicht könnt ihr mir ja auch erklären wie ihr auf die Lösungen gekommen seid oder ihr macht mir ein paar Tipps wie man die Aufgaben lösen kann!
Danke!!! Gott

01.06.2004, 11:24

WebFritzi

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Zu 1.) Die obere Grenze der Summe muss nicht m sondern (m-1) sein. Für geometrische Summen gilt:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{m-1} q^k = \frac{q^m - 1}{q - 1} \end{align*}$ .

01.06.2004, 12:01

juergen

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RE: (Un-) Gleichungen, Primzahlen und ggT

Zitat:

Original von prinzessin
6. Teilt man die Stundenten eines Semestern in Gruppen z je 7 ein, so bleiben 2 Studenten übrig. Teilt man sie in Gruppen zu je 12 ein, so bleiben 3 Studenten übrig. Wieviele Studenten sind es?

Also die Studentenzahl muß ja ein Vielfaches von 7 plus 2 sein und ein Vielfaches von 12 plus 3.

Also z.B. 51, 135, 219, 303, ...

01.06.2004, 13:41

Leopold

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Zur 2. Aufgabe:

a)
Binomialkoeffizienten sind ganze Zahlen. Ist nun p prim und 0<k<p, so folgt aus

$\begin{align*} $\array{p\\k}$ \ = \ \frac{p(p-1)(p-2)\cdot\cdot\cdot (p-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdot\cdot\cdot1} \end{align*}$ ,

daß das p im Zähler nicht gegen einen Faktor im Nenner gekürzt werden kann. Also ist der Binomialkoeffizient durch p teilbar.

b)
folgt aus dem Binomischen Lehrsatz und a)

01.06.2004, 18:21

Irrlicht

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Zu Aufgabe 4)

Schreibe z als Summe z_n*10^n + ... + z_1*10 + z_0 und rechne modulo 11.

04.06.2004, 13:52

joka

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hi!
Also zu 5)
Wir suchen also ein neunfaches einer Zahl die bezüglich 220 17 Rest lässt.
wenn wir uns die Zahlen modulo 9 anschaun steht fest:
17 = -1 (9)
220 = 4 (9)

jetzt müssen wir einfach ein vielfaches von 220 finden das +1 modulo 9 ist. 7 erfüllt das. Drum ist die erste Lösung (7*220+17)/9 = 173

Weitere Lösungen sind weiter vielfache die 1 Rest lassen. Also immer +9*220.

bin noch am Gymnasium und hab keine Ahnung obs richtig ist und richtig bewiesen ist also verbessert mich bitte, will ja auch was draus lernen!

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