"anschauliche" Vorstellung

09.08.2006, 09:02	Jeny1	Auf diesen Beitrag antworten »
"anschauliche" Vorstellung Hi, ich sehe gerade folgende einfach Aufgabe: A,B Matrizen, B invertierbar. Man zeige; A und (B^-1 A B) besitzen das selbe charakt. Polynom. Der Beweis ist einfach: $\begin{eqnarray} \chi_{B^{-1}AB}(X) = ... = det(BB^{-1}) \cdot det (B^{-1}AB - X \cdot E) = ... = det(A-X \cdot E) = \chi_A(X) \end{eqnarray}$ Was ich mich frage ist, wie man sich das vorstellen kann. Die Matrix von links an A multipliziert sind ja Zeilenumformungen, die von rechts Spaltenumformungen. Warum kommt dann das gleiche charakt. Polynom raus? Ich komme einfach nicht drauf LG, Jeny
09.08.2006, 09:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen Beweis finde ich etwas holprig und gerade an den wesentlichen Stellen wenig überzeugend. Aber gut, zur Anschauung: Jeder quadratischen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kann man gemäß $\begin{eqnarray} x\to Ax \end{eqnarray}$ einen Endomorphismus im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ zuordnen. Bei einem Basiswechsel $\begin{eqnarray} x=By\quad\leftrightarrow\quad y=B^{-1}x \end{eqnarray}$ ändert sich zwar die Transformationsmatrix von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} B^{-1}AB \end{eqnarray}$ , es bleibt aber derselbe Endomorphismus! Die Eigenvektoren (allerdings in der neuen Basis), die Eigenwerte und damit auch das charakteristische Polynom bleiben dabei erhalten.
09.08.2006, 09:57	Jeny1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, dankeschön. Da hatte ich wohl Tomaten auf den Augen - habe gar nicht registriert daß das einfach ein Basiswechsel ist ... Was findest du an dem Beweis holprig? Ich habe die Pünktchen mal ausgeschrieben. Wie gehts denn besser? $\begin{eqnarray} \chi_{B^{-1}AB}(X) &=& det (B^{-1}AB - X \cdot E) = det(BB^{-1}) \cdot det (B^{-1}AB - X \cdot E) = detB \cdot det (B^{-1}AB - X \cdot E) \cdot det(B^{-1})\\ &=& det(BB^{-1}ABB^{-1} - BXEB^{-1}) = det(A-X \cdot E) = \chi_A(X) \end{eqnarray}$ LG, Jeny
09.08.2006, 10:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, das waren wohl die Pünktchen.
09.08.2006, 11:50	Jeny1	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar

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