Injektivität/Surjektivität - bitte mal kurz prüfen :-) |
| 29.10.2008, 19:17 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Injektivität/Surjektivität - bitte mal kurz prüfen :-)
Es geht um folgende Aufgabe: Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen jeweils auf Injektivität und Surjektivität. (1) (2) (3) Hier meine Lösungen: (1) injektiv (2) weder noch (3) surjektiv Richtig? Danke für Hilfe 
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| 29.10.2008, 19:39 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Injektivität/Surjektivität - bitte mal kurz prüfen :-) Hallo, 
Wirklich? Das hieße, dass man aus der Summe zweier reeller Zahlen eindeutig auf die einzelnen Summanden schließen kann -- sogar auf die Reihenfolge der Summanden. Stimmt das wirklich?
Nein. Beachte, dass es auch negative rationale Zahlen gibt! |
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| 29.10.2008, 19:55 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Injektivität/Surjektivität - bitte mal kurz prüfen :-)
Wenn du so fragst, dann wahrscheinlich nicht 
Aber surjektiv doch auch nicht.... 
Ok, dann ist die (3) injektiv. |
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| 29.10.2008, 19:56 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
injektiv ja auch nicht, weil f(4,2)=f(2,1) 
// Ich rede von der (3) |
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| 29.10.2008, 19:59 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja... Das hatte ich mir eigentlich auch schon so notiert 
Ok, also (3) auch weder noch
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| 29.10.2008, 20:00 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Injektivität/Surjektivität - bitte mal kurz prüfen :-)
Also injektiv auf keinen Fall, z. B. gilt doch schon 4 + 2 = 2 + 4, also f(4,2) = f(2,4). Und für den Funktionswert 6 gibt es noch unendlich viele weitere Möglichkeiten. Surjektiv ist die Funktion schon, denn für jede reelle Zahl r gibt es zwei reelle Zahlen x und y, sodass x + y = r. Wähle einfach x = r - 1 und y = 1. Schon gilt x + y = r - 1 + 1 = r
Nein, wie Duedi schon gezeigt hat. Man kann Brüche doch erweitern: 2/1 = 4/2 = 8/4 u. s. w. D. h. Zähler und Nenner können verschieden sein, und trotzdem sind die Brüche identisch. |
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| 29.10.2008, 20:04 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, vielen Dank. Habs gerafft
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| 21.10.2010, 13:02 | T. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
2 ist injektiv by the way |
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| 21.10.2010, 13:12 | T. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
und surjektiv und damit bijektiv |
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| 22.03.2011, 15:12 | nuri | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Injektivität/Surjektivität - bitte mal kurz prüfen :-) Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen jeweils auf Injektivität und Surjektivität. (1) f : R2 ! R, f(x, y) = x + y (2) f : R2 ! R2, f(x, y) = (x + 2 y, 2 x- y) (3) f : N2 ! Q, f(m, n) =m/n Lösungsvorschlag: (1) Die Abbildung f ist offenbar nicht injektiv, da f(1, 0) = f(0, 1) = 1. Allerdings ist f surjektiv, da jedes Element r element R das Urbild (r, 0) element R^2 besitzt. (2) Die Abbildung f ist injektiv. Seien (x1, y1), (x2, y2) element R^2, dann gilt f(x1, y1) = f(x2, y2) => (x1 + 2y1, 2x1 - y1) = (x2 + 2y2, 2x2 - y2) => x1 + 2y1 = x2 + 2 y2 ^(=und) 2x1 - y1 = 2x2 - y2 => x1 = x2 + 2y2 - 2y1 ^ 2(x2 + 2 y2 - 2y1) - y1 = 2x2 - y2 => x1 = x2 + 2y2 - 2y1 ^ 2x2 + 4y2 - 4y1 - y1 = 2x2 - y2 => x1 = x2 + 2y2 - 2y1 ^ y1 = y2 => x1 = x2 ^ y1 = y2 => (x1, y1) = (x2, y2). Die Abbildung f ist surjektiv, denn jedes Element (r, s) element R^2 besitzt ein Urbild (x, y) element R^2: (r, s) = (x + 2y, 2x - y) => r = x + 2y ^ s = 2x - y => x = r - 2y ^ s = 2(r - 2y) - y => x = r - 2y ^ s = 2r - 4y - y => x = r - 2y ^ y =2/5 r - 1/5 s => x = 1/5 r + 2/5 s ^ y = 2/5 r -1/5 s => (x,y) = 1/5 r + 2/5 s + 2/5 r - 1/5 s) (3) Die Abbildung f ist nicht injektiv, da f(1, 2) = f(2, 4) = 1/2. Weiterhin ist f nicht surjekiv, da jede nichtpositive rationale Zahl kein Urbild besitzt. |
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