Hebbare und nicht hebbare Lücken

09.08.2006, 14:27	Manu22	Auf diesen Beitrag antworten »
Hebbare und nicht hebbare Lücken Hi! Wir berechnen gerade Aufgaben wo es darum geht, herauszufinden ob es eine hebbare oder nicht hebbare Lücke ist. (Grenzwerte) Z.B. Polstelle oder hebbare Lücke. Wi genau erkenne ich das und was muss ich beim Ausrechnen beachten?
09.08.2006, 15:03	ich bin smile	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Manu22! Die Unterscheidung zwischen hebbaren und nicht hebbaren Lücken is' einfach: Bei einer Polstelle geht die ganze Sache gegen Unendlich. (z.B.: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ) Bei einer hebbaren Lücke ist die Kurve "ganz normal", nur an einer Stelle ist sie nicht definiert, das x kann z.B. gekürzt werden. (z.B.: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^{2}}{x} \end{eqnarray}$ ) Das ausrechnen funktioniert ungefähr genauso und achtet auf die oben genannten Bedingungen. Ich hoffe du versteht jetzt das Ganze etwas besser.
09.08.2006, 15:19	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Forme dir eine gebrochenrationale Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{z(x)}{n(x)} \end{eqnarray}$ , mit zwei Polynomen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Hierbei sei $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ sowohl Nullstelle von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ alsauch von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Wenn nun $\begin{eqnarray} \mbox{Grad : }z(x_0)< \mbox{Grad : }n(x_0) \end{eqnarray}$ , dann liegt eine Polstelle vor, obwohl $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ auch Nullstelle von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist. Wenn $\begin{eqnarray} \mbox{Grad : }z(x_0)\geq \mbox{Grad : }n(x_0) \end{eqnarray}$ ist die Lücke hebbar und die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kann dort Stetig ergänzt werden $\begin{eqnarray} f(x_0):=a = \lim_{x\searrow x_0}f(x)=\lim_{x\nearrow x_0}f(x) \end{eqnarray}$ Falls n keine weiteren Nullstellen hat sieht die Funktion nach der stetigen Ergänzung dann so aus: $\begin{eqnarray} f(x):=\begin{cases}\frac{z(x)}{n(x)}& \mbox{für } x\neq x_0 \\ a & \mbox{für } x=x_0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Ein Beispiel sei: $\begin{eqnarray} f(x)&=&\frac{x^3+x^2-x-1}{x^4-2x^2+1}\\ & & \\&=&\frac{x^3+x^2-x-1}{x^4-2x^2+1}\\ & & \\ &=& \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)^2}{ \left(x-1\right)^2\cdot\left(x+1\right)^2}\\ & & \\&=&\frac{1}{x-1} \quad ; \text{ für } x \neq -1 \end{eqnarray}$ Es liegen bei $\begin{eqnarray} x_1=-1 \end{eqnarray}$ und bei $\begin{eqnarray} x_2=1 \end{eqnarray}$ jeweils Nullstellen von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ vor, jedoch ergibt sich nur bei $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ eine Polstelle. $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ist eine hebbare Lücke, stetig ergänzbar wenn man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ neu definiert mit $\begin{eqnarray} f(-1):=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Plott: [Der Plotter ergänzt bei -1 automatisch, deshalb sieht man da keine Lücke. Der Plotter hier ist dagegen so ausgelegt, dass er die hebbare Lücken als kleines Loch mitanzeigt. Ist evtl. mal nen Blick wert

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