Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz

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Wedmann Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz
Bei folgender Aufgabe weiß ich nicht weiter...

Bei einem Glücksspiel werden aus einer Urne, die 9 Kugeln mit den Nummern 1 bis 9 enthält, nacheinander 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Der Einsatz pro Spiel beträgt 0,50 €. Bei drei Einsen werden 5 Euro ausgezahlt, bei zwei Einsen 2 € und bei einer Eins 1 €.

a) Welche langfristige Gewinnerwartung ergibt sich?

b) Wie muss der Einsatz verändert werden, damit das Spiel fair ist?


a)
Muss ich da einfach nur den Erwartungswert ausrechnen? Also die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X berechnen und dann normal ausrechnen?

b)
Absolut keine Idee, wie ich damit anfange...

Schonmal vielen Dank.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist auf dem richtigen Dampfer:

a) Wird mit dem Erwartungswert berechnet, bzw. die langfristige Gewinnerwartung ist der Erwartungswert.

b) Wann ist ein Spiel fair? Wie sollte die Gewinnerwartung aussehen? Du hast dann die Lösung für den Erwartungswert und sollst jetzt den Einsatz so verändern, dass die Gleichung erfüllt wird.
 
 
Wedmann Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal.

a) D.h. ich bekomme E (X) = -0,16 €; also eine Gewinnerwartung von - 16 cent pro Spiel?! Ist das so richtig?
Habe gerechnet E(X)=
Wenn das stimmt, dann wäre das schon mal ein guter Anfang Augenzwinkern

b) Das Spiel ist fair, wenn die Gewinnerwartung bei 0,50 € liegt. Also genauso hoch wie der Einsatz. aber wie rechne ich dann weiter? Edit: Habe jetzt einfach wie oben gerechnet, nur eben statt *0,5 dann +1 usw. Ohne den Abzug des Einsatzes. Dann bin ich auf 34 cent gekommen - als fairen EInsatz. Kommt das hin?
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jetzt nicht genau ob die a richtig ist , aber Gewinnerwartung sollte = Einsatz sein also
Habe gerechnet E(X)=

könnte man sich doch so vorstellen nur mal so laut gedacht ...
Wedmann Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich auch gedacht... und so gerechnet... Also hoffe ich mal, dass es stimmt.
Und die b)?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Also die a) müsste stimmen.

Ich frage mich nur, wie ihr bei der b) auf den Einsatz als fairen Gewinn kommt?

Wenn er seinen Einsatz wieder rauskriegt, ist das Spiel fair Das stimmt. Ihr sagt aber: Der Erwartungswert ist was er rauskriegt.
Wäre dem so, dann müsste er ja im Fall a) nochmal nach dem Spiel 16cent nachzahlen. Wie soll denn das gehen? Er würder also 66cent verlieren, obwohl er nur 50cent eingezahlt hat.

Der Erwartungswert ist bereits der reine Gewinn/Verlust.

Wie muss dieser reine Gewinn/Verlust in einem fairen Spiel (unterm Strich, bei annähernd unendlich vielen Versuchen) aussehen?
luisa. Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt man auf die a)?????
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du, wie der Erwartungswert definiert ist und was er mit der Aufgabe a) zu tun hat?
Legolas1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Rechnung stehe ich bei den hier dargelegten Wahrscheinlichkeiten aufm Schlauch. Ich hab:

P(drei 1) = 1/9 * 1/9 * 1/9 = 1/729 o.k. habt ihr auch
P(zwei 1) = 1/9 * 1/9 * 8/9 = 8/729 hier habt ihr 8/243 ??? (729 mit 3 gekürzt??)
P(eine 1) = 1/9 * 8/9 * 8/9 = 64/729 hier habt ihr 64/243?? (729 mit 3 gekürzt??)
P(keine 1) = 8/9 * 8/9 * 8/9 = 512/729 o.k. habt ihr auch

Danke im Voraus !!!
Legolas1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich versuche meine o.a.Frage etwas verständlicher zu formulieren.
Sie bezieht auf die folgende Gleichung, die hier als korrekt (was sie sicher auch ist) aufgeführt ist:

Zitat:
Original von Wedmann
E(X)=


Für die dort aufgeführten Faktoren komme ich auf
Denn:
P(zwei 1) = 1/9 * 1/9 * 8/9 = 8/729
P(eine 1) = 1/9 * 8/9 * 8/9 = 64/729

Offensichtlich habt ihr die 729 im Nenner mit 3 gekürzt - wieso?

Vielen Dank!
Legolas1 Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss die nachfolgenden W'keiten:

P(zwei 1) = 1/9 * 1/9 * 8/9 = 8/729
P(eine 1) = 1/9 * 8/9 * 8/9 = 64/729

wohl deshalb noch jewiels mit 3 multiplizieren, weil es für den Fall das 1 Spiel = 3 Züge, für beide Fälle je genau 3 unterschiedliche Zugfolgen gibt, nämlich:

P(zwei 1) kann vorkommen mit: (1,1,keine1); (1,keine1,1); (keine1,1,1) also 3mal
und
P(eine 1) kann vorkommen mit: (1,keine1,keine1); (keine1,keine1,1); (1,keine1,1) also 3mal

und daher ist

P(zwei 1) = 3* 1/9 * 1/9 * 8/9 = 8/243
P(eine 1) = 3* 1/9 * 8/9 * 8/9 = 64/243
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das ist der Grund Freude
Es gibt den Fall von genau einer 1 bzw. von genau zwei 1en je dreimal.
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