Dimension von Summe der Untervektoren

30.10.2008, 02:09

Lolelei

Dimension von Summe der Untervektoren

Ich habe folgende aufgabe.

Für die Untervektorräume
U= <(1,1,0,-1), (1,2,3,0),(2,3,3,-1)>
V= <(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3)>

von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ bestimme man dim(U+V).

Findn Sie einen Untervektorraum U'c $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ , sodass U $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ U'= $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ .
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Und versteh den Sinn von der ersten aufgabe nicht.
Wenn der Vektorraum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ liegt, dann ist die dimension von U+V ja gleich 4. Die Lösung steht ja quasi schon in der Frage. Oder lieg ich da falsch?

Hab mal die dimensionen von U und V mal gerechnet (mit dem Gaußsche Eliminationsverfahren halt) und es kam das raus

U : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -6 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
V: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist die Dimension von U 3 und die dimension von V 2.

Die Formel für die Summe zweiter Untervektorräume ist ja:
dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U durchschnitt V)

Da hab ich jetzt ein Problem.
Wie bekomme ich den Durchschnitt von U und V raus? verwirrt

Müsste doch eigentlich 1 sein der?
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Für die 2. Frage müsste ich wahrscheinlich den Basisergänzungssatz benutzen.
Ich versteh leider nicht, wie der Satz angewendet wird, haben nur die Definition dafür bekommen, die sagt mir aber nix...

30.10.2008, 08:55

klarsoweit

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RE: Dimension von Summe der Untervektoren
Herzlich willkommen in der Mathe-Welt. Wink

Zitat:

Original von Lolelei
Wenn der Vektorraum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ liegt, dann ist die dimension von U+V ja gleich 4. Die Lösung steht ja quasi schon in der Frage. Oder lieg ich da falsch?

In der Tat. Nimm doch einfach U = <(1,0,0,0)> und V= <(2,0,0,0)> . smile

Zitat:

Original von Lolelei
Da hab ich jetzt ein Problem.
Wie bekomme ich den Durchschnitt von U und V raus? verwirrt

Müsste doch eigentlich 1 sein der?

Pack doch einfach alle Vektoren (also die von U und V) in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. Dann siehst du die Dimension.

30.10.2008, 13:30

Lolelei

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RE: Dimension von Summe der Untervektoren
Danke sehr für die schnelle antwort^^

Durch das einsetzten von den Vektoren in zeilenstufenform kommt sowas raus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 &-2 \\ 2 & 3 & 2 & -3 \\ 1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die dim ist doch hier 2 oder?

30.10.2008, 13:45

klarsoweit

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RE: Dimension von Summe der Untervektoren
In der ersten Matrix lautete der letzte Vektor (1,3,4,-3).
Die zweite Matrix ist noch nicht auf Zeilenstufenform. In jeder Zeile dürfen unter dem ersten Nicht-Null-Element nur noch Nullen stehen.

30.10.2008, 21:16

Lolelei

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RE: Dimension von Summe der Untervektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 &-2 \\ 2 & 3 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 4 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so richtig? also dim3?

wärjetzt aber ganz doof die lösung
weil bei U hatte ich mich verrechnet, dimU=2
dann wär dim(U+V) =2+2-3=1

31.10.2008, 08:42

klarsoweit

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RE: Dimension von Summe der Untervektoren

Zitat:

Original von Lolelei
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lolelei
so richtig? also dim3?

Ja.

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