Im - und Realteil einer komplexen Zahl berechnen

30.10.2008, 11:20

Skeith

Im - und Realteil einer komplexen Zahl berechnen

Hi ihr, ich hab diese woche leider 2 vorlesungen verpasst und aus den skripten allein werd ich nicht schlau =(
ich habe vollgende aufgabe aus dem ich den imaginär und den realteil bilden muss:

z = (3 + 4 i )(3 - 4 i ) - 5(5 + 2 i )

wo beginne ich schon fehler zu machen =/

z = 9 + 12i -12i -16i² -25 -10i

z= -16 -16i² -10 i

z = -i² - 10/16i

z = -i - 5/8

ist nun der imganiärteil -i und der realteil -5/8 ?

30.10.2008, 11:26

Jacques

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RE: Im - und Realteil einer komplexen Zahl berechnen
Hallo,

Zitat:

Original von Skeith

z= -16 -16i² -10 i

z = -i² - 10/16i

Was machst Du hier denn?

Wende ansonsten einfach die Definition an: i² = -1

Also

$\begin{eqnarray*} z = -16 -16\mathrm{i}^2 - 10 \mathrm{i} = -16 +16 - 10\mathrm{i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Skeith

z = -i - 5/8

ist nun der imganiärteil -i und der realteil -5/8 ?

Abgesehen von der falschen Rechnung: -1 wäre der Imaginärteil.

30.10.2008, 11:38

Skeith

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also wäre der realanteil blos -10 oO

wäre dann

__5___
= -3 + 4i

__-15___
= + 4i

= 60i

Imaginäranteil -1 realanteil 60

btw: wie kriegt ihr das mit den Bruchstrichen so gut hin :P macht ihr das in irgend nen bestimmten Editor und Screenshots von oder wie xD

30.10.2008, 11:43

Jacques

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Also bei der ersten Aufgabe hat man doch

z = 0 - 10i

Der Realteil ist 0, der Imaginärteil -10.

Zitat:

Original von Skeith

btw: wie kriegt ihr das mit den Bruchstrichen so gut hin :P macht ihr das in irgend nen bestimmten Editor und Screenshots von oder wie xD

Es gibt einen LaTeX-Editor hier im Board:

[User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

Könntest Du die neue Aufgabe damit nochmal aufschreiben? Augenzwinkern

Denn ich kann so nicht verstehen, was Du machst.

Z. B. bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{-3 + 4\mathrm{i}} = \frac{-15}{4\mathrm{i}} \end{eqnarray*}$

Oder habe ich das falsch gelesen?

30.10.2008, 11:48

Skeith

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richtig und Vielen lieben dank bis her =)

käme dann bei dieser zweiten aufgabe
Realanteil auch 0 und Imaginäranteil -60 herraus ?

und wenn nein, kennst du vielleicht eine online referenz zu den thema, verstehe dann wohl offensichtlich nicht wie ich den realanteil vom imaginären trennen soll -.-

30.10.2008, 11:54

Skeith

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oder real -15 und imaginär 20i

30.10.2008, 11:56

Jacques

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Zitat:

Original von Skeith

käme dann bei dieser zweiten aufgabe
Realanteil auch 0 und Imaginäranteil -60 herraus ?

Also wenn die Zahl jetzt

$\begin{eqnarray*} z = \frac{5}{-3 + 4 \mathrm{i}} \end{eqnarray*}$

lautet: Nein. Weißt Du, welche Schritte überhaupt Termumformungen sind? Denn Du multipliziert den Term irgendwie mit Zahlen, dividierst ihn u. s. w. Das sind alles keine Termumformungen!

Zitat:

Original von Skeith

und wenn nein, kennst du vielleicht eine online referenz zu den thema, verstehe dann wohl offensichtlich nicht wie ich den realanteil vom imaginären trennen soll -.-

Bringe die Zahl z in die Form z = a + bi. Dann ist a (der konstante Summand) der Realteil und b (der Faktor vor i) der Imaginärteil.

Siehe Wikipedia. Augenzwinkern

30.10.2008, 12:47

Skeith

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ist mein anderes ergebnis,kurz hinter den quatsch mit der -60 auch falsch?
wenn ja les ich mich erstmal noch intensiver in den zeug rein...das problem ist nur,das sind die leichtesten aufgaben von denen die ich lösen muss unglücklich

30.10.2008, 14:30

Skeith

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Kann mir wer diese aufgabe überprüfen ?
$\begin{eqnarray*} z =2 -(i-2)³ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2 - (i²+4-2i)*(i-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= 2 - (i³-2i² +4i - 8 -2i² -4i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2 - i³+8 -4i² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= 2 -i³ +8 +4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 14 -i³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{14 -i³} \end{eqnarray*}$

Reale Zahl = $\begin{eqnarray*} \sqrt{14} \end{eqnarray*}$ i = -1

btw: gibt es übliche abkürzung für eine "Reale Zahl =" wenn "i=" imaginäre zahl = bedeutet^^

30.10.2008, 14:42

Jacques

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Zitat:

Original von Skeith

$\begin{eqnarray*} z =2 -(i-2)³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 2 - (i²+4-2i)*(i-2) \end{eqnarray*}$

Hier ist ein Fehler:

Nach der zweiten binomischen Formel gilt (i - 2)² = i² - 4i + 4

Bevor Du dann weiter die Klammern auflöst: i² ist -1, nutze das doch aus.

$\begin{eqnarray*} z = 2 - (\mathrm{i} - 2)^3 = 2 - (\mathrm{i}^2 - 4\mathrm{i} + 4)(\mathrm{i} - 2) = 2 - (3 - 4 \mathrm{i})(\mathrm{i} - 1) \end{eqnarray*}$

Und erst jetzt die Klammern auflösen.

Zitat:

Original von Skeith

$\begin{eqnarray*} z = 14 -i³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{14 -i³} \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist nicht erlaubt. Du darfst nicht aus einem Term einfach die Wurzel ziehen.

Zu den Bezeichnungen:

Es heißt Real-Teil. Eine reelle Zahl ist etwas anderes. Und i steht für die imaginäre Einheit, nicht für den Imaginärteil.

Die Symbole für den Realteil und den Imaginärteil sind

$\begin{eqnarray*} \Re(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Im(z) \end{eqnarray*}$ (Code: \Re und \Im)

Oder man kann auch schreiben Re(z) und Im(z)

30.10.2008, 15:40

Skeith

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$\begin{eqnarray*} z =2 -(i-2)³ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2 - (-1+4-4i)*(i-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= 2 - (-1i+2-4i²+8i+4i-8) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2 - (6+11i-4i²) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= 2 -6 -11i + 4i² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 2 -6 -11i -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = -8 -11i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Re(-8) \Im(-11) \end{eqnarray*}$

bitte sag mir dass es jetzt korrekt ist v.v

Und du sprachst von „Rationalmachen eines Nenneres“, heißßt das, man darf einen Term nur erweitern wenn er ein Bruch ist?
Und angenommen ich hätte eine zahl, $\begin{eqnarray*} z = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 14 -i³ \end{eqnarray*}$ wie würde ich denn hier weiter fortgehn?

MFG & Thx bislang =)

30.10.2008, 15:57

Jacques

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Zitat:

Original von Skeith

$\begin{eqnarray*} z = 2 - (-1+4-4i)*(i-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= 2 - (-1i+2-4i²+8i+4i-8) \end{eqnarray*}$

-1 + 4 darfst Du natürlich auch ausrechnen. Big Laugh

Das war ja der Sinn der Umformung: Du hast dann kein Produkt der Art (a + b + c)(d + e) mehr, sondern ein einfacheres der Form (a + b)(c + d).

Dein Ergebnis stimmt aber bis hierhin trotzdem:

Zitat:

Original von Skeith

$\begin{eqnarray*} z= 2 - (-1i+2-4i²+8i+4i-8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 2 - (6+11i-4i²) \end{eqnarray*}$

Da hast Du Dich verrechnet:

$\begin{eqnarray*} z = 2 - (11 \mathrm{i} - 4 \mathrm{i}^2 - 6) \end{eqnarray*}$

(also -6, nicht +6)

Auch hier wieder: Warum ersetzt Du nicht jetzt schon i² durch -1?

$\begin{eqnarray*} z = 2 - (11 \mathrm{i} - 4\mathrm{i}^2 - 6) = 2 - (11\mathrm{i} + 4 - 6) = 2- (11\mathrm{i} - 2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Skeith

$\begin{eqnarray*} \Re(-8) \Im(-11) \end{eqnarray*}$

Re(z) und Im(z) bezeichnen doch den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl.

Also Du schreibst bei dieser Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \Re(z) = \ldots \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Im(z) = \ldots \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Skeith

Und du sprachst von „Rationalmachen eines Nenneres“, heißßt das, man darf einen Term nur erweitern wenn er ein Bruch ist?

Ja, erweitern kann man nur Brüche. Aber es lässt sich jede Zahl a als Bruch schreiben: a = a/1.

Zitat:

Original von Skeith

Und angenommen ich hätte eine zahl, $\begin{eqnarray*} z = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 14 -i³ \end{eqnarray*}$ wie würde ich denn hier weiter fortgehn?

Also ich weiß nicht, inwieweit die Potenzgesetze auf für komplexe zahlen gelten.

Aber meine Idee wäre i³ = i² * i = -i

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