Tangentenberechnung an eFunktion

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30.10.2008, 13:19	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentenberechnung an eFunktion folgende Aufgabe bereitet mir kopzerbrechen: gegeben ist die Funktion f durch $\begin{eqnarray} f(x)=e^1/2x \end{eqnarray}$ a) Von O(0\|0) aus wird eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Bestimmen SIe den Berührungspunkt und dieTangentengleichung. also falls jemand einen ansatz findet ..bitte bescheid geben ..danke
30.10.2008, 13:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal bitte die Angabe entsprechend korrigieren! $\begin{eqnarray} f(x)=e^{\frac{1}{2}x} \ \text {oder} \ e^{\frac{1}{2x}} \end{eqnarray}$ Oder ?? mY+
30.10.2008, 13:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentenberechnung an eFunktion Erstmal müssen wir klären, um welche Funktion es geht: a) $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{e}{2x} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(x) = e^{0,5 \cdot x} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f(x) = e^{\frac{1}{2x}} \end{eqnarray}$ Wenn wir das haben, stellst du die allgemeine Gleichung für eine Gerade durch den Ursprung auf. EDIT: mythos war schneller.
30.10.2008, 14:14	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentenberechnung an eFunktion naja eigentlich ist die Funktion wie folgt: F(x)= e^(0,5*X)
30.10.2008, 14:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentenberechnung an eFunktion Prinzipiell müßtest du jetzt die allgemeine Geradengleichung für eine Gerade durch den Ursprung aufstellen und diese mit f(x) gleichsetzen. Allerdings sehe ich keine Chancen, das analytisch zu lösen. EDIT: kleiner Irrtum. Jacques hat recht.
30.10.2008, 14:20	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das heißt also mein n der allgemeinen formerl ist null -> t=mx+0 meine problem war jetzt aber wo ich den anstieg her kriege kann es sein, dass ich einfach beide gleichungen gleichsetzen muss, bloß habe ich dann ja 2 variablen, also m und x des weiteren könnte man noch die 2 ersten ableitungen gleich setzen .... so weit so gut, aber so richtig weiß ich dann auch nicht weiter p.s. ich hoffe ich habe es jetzt nicht zu kompliziert ausgedrückt aber danke schon mal fürs helfen
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30.10.2008, 14:27	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, g soll die gesuchte Geradenfunktion sein. Weil die Gerade durch den Ursprung geht, hat die Funktionsvorschrift die Form g(x) = mx Weil die Gerade als Tangente von f in einem Punkt P(x0 \| f(x0)) auftritt, geht sie durch P und hat die Steigung f'(x0). Also m = f'(x0) und g(x0) = f(x0) Man erhält: $\begin{eqnarray} f(x_0) = f^{\prime}(x_0) \cdot x_0 \end{eqnarray}$ M. E. ist die Gleichung schon durch Umformen lösbar. // Edit: Ja, ist sie.
30.10.2008, 16:08	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank! so ne schnelle Antwort hätte ich gar nicht erwartet ich ahb aber noch ein weiteres problem, wo ich zwar den ansatz habe aber mit der umformung nicht ganz klar komme. ich stell sie unter dem folgendem thema ein: Maximumaufgabe mit halbkreis vielen dank und liebe grüße florian
30.10.2008, 16:10	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du hier denn noch Dein Ergebnis sagen? Wie lauten Berührpunkt und Tangentengleichung?
06.11.2008, 14:14	Florian L	Auf diesen Beitrag antworten »
g(x)=t=mx+0 g(x)=f(x) f'(x)=m f'(x)x=f(x) 1/2e^(0,5x)x=e^(0,5x) x=2 y=f(x)=e^(0,52)=e P(1\|e) m=1/2e^(0,52)=e/2 t=e/2x .... so ich denke das ist so richtig (fehlen ein paar zwischenschritte (- VIELEN DANK FÜR DIE SCHNELLEN ANTWORTEN das forum kann man nur weiter empfehlen!
06.11.2008, 14:29	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde lieber eine neue Variable x0 einführen, denn Du benutzt sonst „x“ sowohl für die Funktionsvariable als auch für die bestimmte x-Koordinate des Berührpunktes. Andererseits solltest Du die Tangente nicht gleichzeitig mit t und g bezeichnen. Der Berührpunkt sei $\begin{eqnarray} P(x_0\,\|\,f(x_0)) \end{eqnarray}$ Du hast korrekt berechnet: $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_0) = \mathrm{e} \end{eqnarray}$ [Die Angabe P(1\|e) ist ein Schreibfehler, oder?] Und die Tangentengleichung lautet $\begin{eqnarray} t(x) = \frac{\mathrm{e}}{2} \end{eqnarray}$ [Bitte Klammern setzen! „e/2x“ ist kein eindeutiger Ausdruck.] [attach]9116[/attach]
06.11.2008, 14:31	Florian L	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ..ok, so mach ich es
09.11.2008, 13:01	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man bei dieser Funktion eine Fläche zwischen bestimmen muss ,zwischen Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^(0.5x) \end{eqnarray}$ tangente $\begin{eqnarray} t=\frac{e}{2}x \end{eqnarray}$ und der negativen x-Achse muss man ja beachten das der grenzwert bei y=0 liegt die aufgabestellung gibt den hinweis: "Wählen sie zunächst als untere Integrationsgrenze u (element der positiven rationalen zahlen) und ermittlen den grenzwert für u -> unendlich wie rechne ich den Flächeninhalt einer e funktion aus wenn keine untere grenze gegeben ist und man den grenzwert beachten muss ?
09.11.2008, 13:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie es da steht! Wähle zunächt eine beliebige untere Grenze u, führe die Flächenberechnung A(u) damit aus und ermittle zuletzt den Grenzwert von A(u) für $\begin{eqnarray} u \to -\infty \end{eqnarray}$ . mY+
09.11.2008, 15:31	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ..zur vorwarnung, das ist neuland für mich , aber ich versuch mein bestes! ich nehme für u=-2 $\begin{eqnarray} A(u)=\int_{-2}^{2}e^(0,5x)dx-\int_0^{2}\frac{e}{2}xdx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(u)=4,7-3,297=1,403 FE \end{eqnarray}$ aber wie ich jetzt den grenzwert berechne ... no idea! ich weiß zwar das man den $\begin{eqnarray} \lim_{u\to\infty} \end{eqnarray}$ benutzt, aber in dem fall bin ich überfordert! $\begin{eqnarray} \lim_{u\to\infty}\int_{u}^{2}e^(0,5x)dx-\int_0^{2}\frac{e}{2}xdx \end{eqnarray}$
09.11.2008, 15:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du sollst nicht für u irgendeine Zahl annehmen, sondern allgemein lassen, damit du die Fläche A als Ausdruck in u hast. Nur so kannst du dann den Grenzwert berechnen. $\begin{eqnarray} A(u)=\int_{u}^{2}e^{0,5x}dx-\int_0^{2}\frac{e}{2}xdx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(u)=2e-2e^{\frac{u}{2}}- \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(u)= \ldots \end{eqnarray}$ Jetzt kannstd du, da du u im Exponenten hast, auch den Grenzübergang durchführen. Beachte, dass dann der Exponent negativ ist, was für die Größe des Grenzwertes von Bedeutung ist. mY+
10.11.2008, 17:46	Florian L	Auf diesen Beitrag antworten »
ok jetzt hab ich angefangen, dass auszurechenen $\begin{eqnarray} A(u)=2e-2e^\frac{u}{2}-e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(u)=e-2e^\frac{u}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{u\to-\infty}e-2e^\frac{u}{2} \end{eqnarray}$ und jetzt? ich glaub ich hab noch nie einen grenzwert von einer e funktion berechnet, wir lesen das immer vom graphen ab ....
10.11.2008, 18:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch vom Graphen darfst du natürlich ablesen, was vermutest du dann für den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{u \to -\infty} e^{\frac{u}{2}} \end{eqnarray}$ ? Tipp zur Berechnung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{x \to \infty} e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} \end{eqnarray}$ mY+
10.11.2008, 18:47	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich erwarte ich null! $\begin{eqnarray} \lim_{u\to\infty}{e-\frac{2}{e^{\frac{u}{2}}}} \end{eqnarray}$ =e ?
10.11.2008, 19:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es! Hast du auch die Umformung kapiert? Damit kriegst ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray}$ , und das ist auch Null. mY+
10.11.2008, 19:20	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmh jetzt warst du aber nicht eindeutig ist das ergebnis nun 0 oder e? eigentlich müsste es e sein weil ja $\begin{eqnarray} e- \frac{1}{\infty}=e-0=e \end{eqnarray}$ aber der grenzwert am graph sieht wie y=0 aus!
10.11.2008, 19:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-\frac{u}{2}} \end{eqnarray}$ geht gegen Null, das hast du ja richtig gerechnet (oder nur auf den Graphen gesehen?), aber das ist ja nur ein Teil der Funktion A(u), diese sieht anders aus und geht natürlich nicht gegen 0: Funktion A(u): Also stimmt $\begin{eqnarray} A = \rm e \ \rm FE = 2,71828 \ \rm FE \end{eqnarray}$ mY+
10.11.2008, 19:45	Florian L.	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, alles klar ..ich bin natürlich völlig falsch grade vorgegangen ... ich habe bei den vielen berechnungen den überblick verloren und gedacht wir rechnen den grenzwert für die ausgangsfunktion aus ...aber jetzt ist alles klar, wäre ja auch quatsch wenn A=o ist! also vielen dank für die hilfe in den aufgaben! schönen abend noch!

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