Wahrscheinlichkeitsverteilung, bedingte Verteilung

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Assal Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsverteilung, bedingte Verteilung
Hallo!

Man interessiert sich für diejenigen Schüler eines Gymnasiums, die im Abitur eine Mathematiknote besser oder gleich 3 und Physiknote besser oder gleich 4 erreicht haben. Bezeichnet man mit X die Note dieser Schüler in Mathe, und mit Y ihre Note in Physik, so erhält man die folgende Tabelle (gemeinsame Verteilung von X und Y):

X\Y--1--2--3--4
1--0,01--0,05--0,05--0,02
2--0,01--0,1--0,15--0,01
3--0,05--0,1--0,3--0,15

a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y an.

X--1--2--3
P(X=x)--0,13--0,27--0,6

Y--1--2--3--4
P(Y=y)--0,07--0,25--0,5--0,18

b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y.
E (X) = 2,47
Var (x) = 0,5091
E(Y) = 2,79
Var (Y) = 0,6659

c) Sind die beiden Zufallsvariablen unabhängig?
Die ZV sind abhängig, da P(Y=y,X=x) nicht gleich P(Y=y)*P(X=x) ist.

d) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Durchschnittsnote
D = (X+Y)/2. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser neuen Zufallsvariable D.

verwirrt hier weiß ich nicht so recht weiter.....hat jemand ein Tipp für mich?

viele Grüße

Assal
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn's zum Beispiel um geht, dann musst du alle (X,Y)-Kombinationen betrachten, deren Summe ergibt. Im Wahrscheinlichkeitstableau ist das dann die Summe über die Diagonale mit den roten Werten:

______|_____________Y
______|_ 1 _____2 _____3 _____4
------+--------------------------
__ 1 _| 0.01 _ 0.05 _ 0.05 _ 0.02
X_ 2 _| 0.01 _ 0.1 __ 0.15 _ 0.01
__ 3 _| 0.05 _ 0.1 __ 0.3 __ 0.15
 
 
Assal Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE!!! Freude

so würde es dann ausschauen:

D--1--1,5--2--2,5--3--3,5
P(D=d)--0,01--0,06--0,2--0,27--0,31--0,15---Summe = 1

E(D) und Var (D) ist dann auch klar.....

dann kommt e):
Geben Sie die bedingte Verteilung von Y für X=1, X=2, X=3 an. Interpretieren Sie diese Verteilung.

wie kann ich da vorgehen? mit der Formel von Bayes??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Viel einfacher: Direkt die Definition ergibt



Die Werte rechts kennst du alle.
Assal Auf diesen Beitrag antworten »

ok, da hackt es schon bei mir....
das ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung.

für P(X=1) nehme ich doch 0,13??? und P (Y=1,X=1) ist dann 0,01?

daraus würde sich ergeben für:
P(Y=1 | X=1) = 0,077 ???

verwirrt
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt Freude

Ob die eingesetzten Werte ursprünglich richtig berechnet waren, hab ich nicht geprüft, das hat ja hoffentlich Arthur gemacht Augenzwinkern

Gruß vom Ben
Assal Auf diesen Beitrag antworten »

smile Danke!

und hier noch der letzte Teil der Aufgabe:

f) Eine Hochschule wendet als Einschreibungsvoraussetzung folgendes Kriterium an: es wird eine gewichtete Durchschnittsnote aus der Mathematik- und Physiknote ermittelt, wobei das Gewicht der Mathematiknote das doppelte des Gewichts der Physiknote beträgt. Geben Sie mit Hilfe von X und Y eine mögliche neue Zufallsvariable G an, die diese gewichtete Durchschnittsnote darstellt. Welchen Erwartungswert besitzt die Zufallsvariable G?

Also, müsste G doch sein:
G = 1/3 * (2*X+Y)
oder? verwirrt

Grüße,

Assal
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Würd ich so sehen, ja.
Jetzt noch den Erwartungswert berechnen!
Assal Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also





= 2,477

stimmts? verwirrt
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Den Fall (X=3,Y=2) hast du zur Durchschnittsnote berechnet statt zu . Der Rest ist richtig Freude
Assal Auf diesen Beitrag antworten »

Uups, stimmt, hast recht!

Danke smile
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