Maximumaufgabe mit halbkreis

30.10.2008, 17:15

Florian L.

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Maximumaufgabe mit halbkreis

Ein Halbkreis hat die Gelichung y=Wurzel von (r^2-x^2). In den HAlbkreis wird ein Rechteck einbeschrieben. Lässt ma das Rechteck um die x-achse rotieren entsteht ein Kreiszylinder. (glaube nicht das diese Aussage hilfreich für die Aufgabe ist). welche Koordinaten muss P1 haben, damit die Rechtecksfläche ein absolutes Maximum annimmt.

abfolge ist klar:
hb: A=x*y
nf y=
zf: A(x)=x*Wurzel von(r^2-x^2)

aber dann ist das mit der ableitung so ne sache

30.10.2008, 17:34

Jacques

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Hallo,

Welcher Punkt ist P1? Der Punkt auf dem Halbkreis, der einen Eckpunkt des Rechtecks bildet?

Dann müsstest Du noch sagen, wofür x und y stehen. M. E. ist da ein Denkfehler.

30.10.2008, 18:39

Florian L.

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P1 ist punkt auf dem halbkreis und eckpunkt des rechtecks
x ist die waagerechte und y liegt parallel zur y-achse

30.10.2008, 18:42

Jacques

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OK. Dann ist aber x nicht gleichzeitig die x-Koordinate von P1. Deine Nebenbedingung stimmt also nicht.

Du musst Dich entscheiden: Arbeitest Du direkt mit den Koordinaten von P1? Oder rechnest Du mit den Seitenlängen des Rechtecks, um die dann später in die Koordinaten umzurechnen?

30.10.2008, 20:58

Florian L.

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ja keine ahnung ist das nicht egal ..wenn die länge x und y ja die seitenkanten sind entsprechen sie ja auch den koordinaten, außer das x halbiert werden muss
ich werde mich morgen nochmal dran setzen, vielleicht hast du ja dann schon ne lösung für mein problem!
wäre auf jeden fal nett ...vielen dank

30.10.2008, 21:54

Jacques

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Zitat:

Original von Florian L.

ja keine ahnung ist das nicht egal ..wenn die länge x und y ja die seitenkanten sind entsprechen sie ja auch den koordinaten, außer das x halbiert werden muss

Genau das ist der Punkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Florian L.

ich werde mich morgen nochmal dran setzen, vielleicht hast du ja dann schon ne lösung für mein problem!

Nee, das ist ja irgendwie nicht Sinn der Sache. Du sollst die Aufgabe ja schon selbst lösen.

[attach]9003[/attach]

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30.10.2008, 21:56

mYthos

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Die Lösung für dein Problem wissen wir sicher, aber du musst erstens die richtigen Angaben machen und zweitens selbst einmal eine eigene Rechnung vorlegen.

Also DU erarbeitest die Lösung (mit unserer Hilfe), nicht wir.

In deinem Falle wäre es angebracht, die Koordinaten des Punktes mit x, y zu bezeichnen. Die Fläche des Rechteckes ist dann

$\begin{eqnarray*} A = 2xy \end{eqnarray*}$

mY+

31.10.2008, 13:27

florian L

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alles klar ..aber so hab ich es natürlich nicht gemeint
aber den ansatz hab ich ja jetzt shcon mal
also
hb: A=2xy
nb: x= (weiß grad nicht wo da wurzelzeichen ist)

zfunktion: A(x)=2*x*Wurzel von richtig?
jetzt 1. ableitung, dann nullstelle von 1.ableitung ---> Maximum (überprüfung mit 2.ableitung?)
kurze frage:
ist erste ableitung von Wurzel von (r^2-x^2)
1/2*(r^2-x^2)^(1/2)*(2r-2x) ?

31.10.2008, 13:36

mYthos

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Vorgehen richtig, aber die Ableitung ist falsch!
In den Exponenten kommt $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} r^2 - x^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -2x \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist, die nicht von x abhängt, daher ist deren Ableitung Null.

mY+

31.10.2008, 14:00

Florian L

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alls klar ..hab meinen fehler erkannt
also muss ich einfach so weiter machen
und wenn ich dass dann alles zusammen gefasst habe und vereinfacht habe , ich muss ja die summenregel beaachten uv'+u'v
dann null setzen -> x wert auf eine seite bringen ->x/2 ist gleich x koordinate, richtig?
y koordinate? wahrscheinlich in anfangsgleichung einsetzten?

31.10.2008, 17:59

mYthos

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Die Regel heisst Produktregel.
Zur Rechnung:
Mach es mal und stelle deine Rechnung auch hier herein. Da du die Koordinaten des Punktes mit x, y bezeichnet hast (deine Fläche war ja dann A = 2xy), wird dann nichts halbiert! a = 2x, b = y

mY+

06.11.2008, 14:56

Florian L

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so nun hab ich die zeit gefungen und stelle die rechnung mal hier rein:

A(x)=u'v+uv'
u=x
v=(r^2-x^2)^1/2
u'=1
v'=1/2*(r^2-x^2)^-1/2*(1-2x) =(1/2-x)*(r^2-x^2)^-1/2
-> =(r^2-x^2)^1/2+((1/2-x)*(r^2-x^2)^-1/2)
A(0)=r+0 =r
ist das richtig?
dann ist y=r
dass kann aber nicht stimmen, weil dann A=0 ist
ich brauche bitte hilfe!

06.11.2008, 15:01

Florian L

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v'=1/2*(r^2-x^2)^-1/2*(0-2x) = (-x) *(r^2-x^2)^-1/2
-> =(r^2-x^2)^1/2+( (-x) *(r^2-x^2)^-1/2)

hab mein fehler berichtigt, änder aber nichts am ergebnis

06.11.2008, 21:23

mYthos

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Was rechnest denn da??
Dein Schrieb ist schwer zu lesen! Verwende doch bitte den Formeleditor!
Die Produktregel wenden wir direkt an, ohne zuvor erst u, u', v und v' anzuschreiben ...
Dennoch ist bei dir die Ableitung erst recht falsch (woher kommen die 1 - 2x? Die r-Ableitungen sind 0, denn r ist konstant).

$\begin{eqnarray*} A = 2x\sqrt{r^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x\sqrt{r^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

Du könntest jetzt die ganze Funktion quadrieren, um die Ableitung der Wurzel zu umgehen, denn das Quadrat hat an derselben Stelle das Extremum.
Anyway:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sqrt{r^2-x^2} + \frac{-2x^2}{2\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

Kürzen, erweitern, ... $\begin{eqnarray*} \to x = \frac{r}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$

mY+

08.11.2008, 17:58

Florian L.

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Zitat:

Original von mYthos

Dennoch ist bei dir die Ableitung erst recht falsch (woher kommen die 1 - 2x? Die r-Ableitungen sind 0, denn r ist konstant).

Ja das hatte ich ja dann noch berechtigt!

so jetzt hab ich das nochmal durchgerechnet und komme wie du auf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{r^2-x^2}+\frac{-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

dann setzte ich das gleich null und forme nur den zähler um:

komme auf:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{r}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

soweit also richtig, danke!

jetzt würde ich die 2te ableitung bilden ...zu mindesten hab ich gelernt, dass man so immer überprüfen muss ob es max oder min ist
muss ich das hier auch machen?
aber eigentlich ist es hier eindeutig,richtig?

08.11.2008, 18:12

mYthos

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Die Art des Extremums sollte man immer prüfen, auf welche Art auch immer, entweder mit der 2. Ableitung oder auf anderem Wege. Wenn die 1. Ableitung ein Bruch z/n ist, dann genügt es, nur für den Wert der 2. Ableitung diese Extremstelle in den Term z'/n einzusetzen*. Dadurch wird es nach

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{r^2 - 2x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{-4x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \end{eqnarray*}$

EDIT (mY+): Fehler korrigiert.

wesentlich leichter.

mY+

$\begin{eqnarray*} \text{* Beweis:} \ f' = \frac{z}{n} \ \ f'' = \frac{z'n - zn'}{n^2}, \ \ \text{da} \ z = 0, \text{ kommt }f'' = \frac{z'}{n} \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 12:26

Florian L.

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meine erste frage wäre hier, warum ist z=0?

und zweitens wäre die 2te ableitung nicht so:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-4x}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 12:43

mYthos

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1.)
Wenn z/n = 0, ist auch z = 0

2.)
Fehler, korrigiert, danke

mY+

09.11.2008, 13:51

Florian L.

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der punkt ist:

$\begin{eqnarray*} P(\frac{r}{\sqrt{2}}/\frac{r}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 14:21

mYthos

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Was war gefragt? (Die Seitenlängen des Rechteckes). Rechne vielleicht auch noch die Fläche aus .. . Welches besondere Rechteck ergibt sich eigentlich?

mY+

09.11.2008, 16:08

Florian L.

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die Koordinaten des punktes waren gefragt!

Fläche:

$\begin{eqnarray*} A=2*(\frac{r}{\sqrt{2}})^2 \end{eqnarray*}$

->2mal ein Quadrat?

09.11.2008, 16:54

mYthos

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Ja, so ist es; die Fläche kannst aber noch weiter vereinfachen -> $\begin{eqnarray*} A = r^2 \end{eqnarray*}$

mY+

09.11.2008, 16:59

Florian L.

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Danke!

(wäre nett wenn du noch mal ein blick auf die 2te aufgabe der tangentenberechnun an e funktion werfen könntest ..wegen dem Flächeninhalt)

09.11.2008, 17:07

mYthos

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Hab' ich doch schon längst ... Big Laugh

Big Laugh

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