unbekannter Gleichungstyp

10.08.2006, 13:48

RobinHood

unbekannter Gleichungstyp

Hallo,

wie heißen Gleichungen der folgenden Art:

$\begin{eqnarray*} y\cdot f(x)-x\cdot f(y)=\frac{f(xy)}{f(x+y)} \end{eqnarray*}$

Bzw. gibt es dafür Lösungsmethoden?
Ich habe es bei einer ähnlichen Gleichung bereits mit Substitution und ÜBerführung in eine DGL probiert, aber erfolglos.

Vielen Dank !

10.08.2006, 13:51

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Sowas nennt man Funktionalgleichung.

Es sollte aber noch angegeben werden, für welche $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die angegebene Beziehung gelten soll, also: für alle reellen Zahlen, oder nur alle positiven Zahlen etc.

10.08.2006, 13:51

Lucahe

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RE: unbekannter Gleichungstyp
Moin Moin

Nur mal so als Frage: Woher stammt diese Aufgabe?
Sie erinnert mich irgendwie sehr an eine Aufgabe aus einem noch laufendem Wettbewerb.

11.08.2006, 22:13

akechi90

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Ich kann mir irgendwie schlecht vorstellen, dass die Aufgabe so in nem Wettbewerb gestellt wurde. Ich sag jetzt nicht warum, solange ich nicht sicher bin, ob sie tatsächlich Aufgabe in nem Wettbewerb war.

12.08.2006, 19:15

RobinHood

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Re: laufender Wettbewerb
Du spieltst sicherlich auf die 2. Runde des Bundeswetbewerbs Mathematik an.

Die Gleichung die da vorkommt habe ich aber schon gelöst (die Lösung erfolgt auf völlig anderem Wege wie oben dargestellt) !!
Mich interessiert hingegen ob es da allgemeine Prinzipien gibt, da solche Gleichungen auch anderswo auftauche.! Augenzwinkern

Im übrigen ist es für den BuWe keine Hilfe, diese Gleichung zu lösen, im Gegenteil.

Liebe Grüße und Danke auch.

12.08.2006, 21:11

Lazarus

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Aber ähnlich sieht sie doch aus!
Ich muss auch sagen, als ich den Post gesehn hab musste ich auch unwillkürlich an den BWM denken.
Allerdings habe ich die genaue Aufgabenstellung aus dem BWM nichtmehr im Kopf, daher will ich hier niemandem was unterstellen.

13.08.2006, 00:12

akechi90

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Dann kann ich ja sagen, dass die oben verwendete Funktionalgleichung nicht lösbar ist, sofern das erlaubt ist. Sollte es nicht erlaubt sein, bitte ich darum, dass es schnellstmöglich unkenntlich gemacht wird, was ich hier geschrieben habe. Augenzwinkern

Ansonsten erkläre ich gerne, warum die Gleichung nicht lösbar ist. xD

13.08.2006, 12:29

Lazarus

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Also ich denke soviel kann ich sagen: die BMW-Aufgabe ist lösbar, daher handelt es sich wohl in der Tat um eine andere Aufgabe.
So dann, Carsten, wenn du willst darfst du gerne deine Lösung präsentieren, das Feld gehört dir Augenzwinkern

13.08.2006, 23:01

akechi90

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Vielen Dank Augenzwinkern

Die Funktionalgleichung hat keine Lösung:

Wir haben folgende Funktionalgleichung:

$\begin{eqnarray*} y \cdot f(x) - x \cdot f(y) = \frac{f(xy)}{f(x+y)} \end{eqnarray*}$

Man setze zunächst $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} b \cdot f(a) - a \cdot f(b) = \frac{f(ab)}{f(a+b)} \end{eqnarray*}$

Dann vertauscht man die Belegungen für x und y:

$\begin{eqnarray*} a \cdot f(b) - b \cdot f(a) = \frac{f(ba)}{f(b+a)} \end{eqnarray*}$

Auf den rechten Seite steht nach der Vertauschung jeweils derselbe Term, also müssen auch die linken Terme gleich sein.

$\begin{eqnarray*} a \cdot f(b) - b \cdot f(a) = b \cdot f(a) - a \cdot f(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot f(b) - b \cdot f(a) = -(a \cdot f(b) - b \cdot f(a) \end{eqnarray*}$

Das heißt, der Term $\begin{eqnarray*} a \cdot f(b) - b \cdot f(a) \end{eqnarray*}$ kann allenfalls den Wert 0 annehmen, allgemein muss demnach auch der ursprünglich rechte Term $\begin{eqnarray*} \frac{f(ab)}{f(a+b)} \end{eqnarray*}$ gleich Null sein. Demnach muss die Funktion $\begin{eqnarray*} f(ab) \end{eqnarray*}$ für alle Einsetzungen den Wert Null annehmen, somit auch für alle x.
Da aber die Division durch Null nicht definiert ist, kann auch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ , die einzige verbleibende Möglichkeit, keine Lösung der Funktionalgleichung sein.

Es existiert somit keine Funktion, die die Funktionalgleichung erfüllt.
q.e.d.

So xD

EDIT: Was übrigens die Frage angeht, wie man derartige Funktionalgleichungen am besten löst: Einfach durch Kreativität Augenzwinkern

14.08.2006, 00:37

JochenX

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Zitat:

Original von akechi90
[..........]
Man setze zunächst $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=b \end{eqnarray*}$ :
[..........]
Dann vertauscht man die Belegungen für x und y:

also x und y kommen da aber nicht mehr vor, die hast du doch vorher a und b genannt.
Warum hast du das eigentlich getan, diese Umbenennung?

Achja, schöne Lösung, aber mit etwas Komprimierung und Auslassung des unnötigen Ausschwefiens wäre das ganze bedeutend übersichtlicher geworden.
So ala:

Für alle x,y ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(xy)}{f(x+y)}=\frac{f(yx)}{f(y+x)} \Rightarrow y*f(x)-x*f(y)=x \cdot f(y)-y \cdot f(x) \Rightarrow y \cdot f(x)-x \cdot f(y)=0 \Rightarrow f(xy)=0 \end{eqnarray*}$
Sei nun a beliebig aus IR, dann ist $\begin{eqnarray*} f(a)=f(1 \cdot a)=0 \end{eqnarray*}$ (Belegung x=1, y=a)
f kann also nur die Nullfunktion sein, aber dann müsste durch 0 geteilt werden, da dann auch f(x+y) für alle x,y 0 wäre.
Also kann es kein f geben.

14.08.2006, 02:12

akechi90

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Ich hätte es verwirrend gefunden, wenn die Variablen x und y geheißen hätten. Frag mich nicht warum, aber ich muss dann immer an verschiedene Funktionen denken, also hab ichs mir leichter gemacht, indem ich die Teile a und b genannt hab.
Also nichts für ungut

23.08.2006, 16:32

RobinHood

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Re: Funktionalgleichung
Vielen Dank alles was ich wissen wollte, war das Wort:

Funktionalgleichung Augenzwinkern

Liebe Grüße

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