Integral-Problem...

10.08.2006, 16:00

eypsilon2312

Integral-Problem...

Hallo Leute,

ich komme bei der folgenden Integralaufgabe auf keine Lösung böse

habs mit partieller integration und substitution versucht, aber partielle integration hat bei mir auf kein ergebnis geführt und ne vernünftige substitution hab ich leider nicht gefunden... Danke im voraus!!

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{1-sinx} dx \end{eqnarray*}$

10.08.2006, 16:19

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Das ist in der Tat etwas verzwickt, deshalb eine Vorüberlegung: Es ist

$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\mathrm{d}x}{1-\sin(x)} = \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} \end{eqnarray*}$ ,

d.h., mit $\begin{eqnarray*} u=x,v'=\frac{1}{1-\sin(x)} \end{eqnarray*}$ kannst du erstmal partiell integrieren. Im verbleibenden Integral sollte dann die Substitution $\begin{eqnarray*} z=1-\sin(x) \end{eqnarray*}$ helfen.

Verschoben

10.08.2006, 16:42

eypsilon2312

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Juhu!!!

das war goldrichtig!! danke für den tipp!!

Da hab ich gleich nochmal ne Aufgabe... Ich hab zwar die Lösung vorliegen (also nur das Ergebnis), aber ich weiß nicht auf welchem Lösungsweg ich da hinkommen soll... Vielleicht kannst mir da auch mal unter die arme greifen?

$\begin{eqnarray*} \int15\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}dx \end{eqnarray*}$

10.08.2006, 16:44

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Das ist ja nun viel, viel einfacher: Durch entsprechende Anwendung der Potenzgesetze kannst du

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = x^{\alpha} \end{eqnarray*}$

mit einer noch zu bestimmenden Konstanten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ schreiben.

10.08.2006, 17:01

eypsilon2312

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und genau da steh ich aufm schlauch... da ist das abi leider schon zu lange her... schätze, ich bin etwas eingerostet... traurig

darf ich dann quasi schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x\sqrt{x}}= x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}})^\frac{1}{2}=x^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

10.08.2006, 17:12

Ben Sisko

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15.08.2006, 19:12

eypsilon2312

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[Nachtrag]
ich hab da mal noch ne Frage zu der Vorüberlegung

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{1-sin(x)}~=~\frac{cos(x)}{1-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Aus einer Integraltabelle entnehme ich nun aber, dass

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{1~\pm~sin(ax)}~=~\mp~\frac{1}{a}~\tan(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}) \end{eqnarray*}$ ist. Da in diesem $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ ist,

muss es ja dann also heißen $\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ ...

Aber wie komme ich jetzt von

$\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)}{1-sin(x)} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank im voraus!

15.08.2006, 19:58

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Da hast du irgendwo falsch eingesetzt. Wenn ich das richtig überblicke, gilt allenfalls

$\begin{eqnarray*} \tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right) = \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} \end{eqnarray*}$ .

15.08.2006, 20:09

eypsilon2312

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stimmt, sorry!
Falsch abgeschrieben smile

Die Frage bleibt aber die gleiche...

15.08.2006, 20:32

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Mit den Additionstheoremen $\begin{eqnarray*} \sin(2z)=2\sin(z)\cos(z) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(2z)=2\cos^2(z)-1 \end{eqnarray*}$ , angewandt auf $\begin{eqnarray*} z=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ , folgt:

$\begin{eqnarray*} \tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right) = \frac{\sin\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right)}{\cos\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right)} = \frac{2\sin\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right)\cos\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right)}{2\cos^2\left( \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin\left( \frac{\pi}{2}+x \right)}{1+\cos\left( \frac{\pi}{2}+x \right)} = \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} \end{eqnarray*}$

16.08.2006, 01:28

Marleen

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Ein Trick habe ich noch für dich besonders bei schwereren Integrationen mit cos(x) sin(x)

Als Substition:
$\begin{eqnarray*} x = 2 \tan^{-1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \tan{ \frac{x}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{2 \cdot dz}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin{x} = \frac{2 \cdot z}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos{x} = \frac{1-z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

16.08.2006, 09:01

system-agent

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Zitat:

Original von Marleen
$\begin{eqnarray*} x = 2 \tan^{-1}{z} \end{eqnarray*}$

du meinst den $\begin{eqnarray*} \arctan(x) \end{eqnarray*}$ und nicht den $\begin{eqnarray*} \tan^{-1}(x)=\frac{1}{\tan(x)} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

16.08.2006, 15:50

Marleen

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Ja ich meine arctan(x) smile

Umkehrfunktionen kann man doch auch mit -1 schreiben, so werden die Umkehrfunktionen von sin cos und tan auf dem Taschenrechner abgebildet

16.08.2006, 15:55

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Was aber gerade bei Winkelfunktionen eine ziemliche Unsitte ist, denn andererseits schreibt man $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ und meint damit $\begin{eqnarray*} (\sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ und nicht etwa $\begin{eqnarray*} \sin(\sin(x)) \end{eqnarray*}$ .

Bei Taschenrechnerherstellern ist aber diese Unsitte sehr verbreitet, das mag wohl stimmen. Trotzdem ist sie abzulehnen.

Ich glaube, wir hatten zu dem Thema hier auch mal irgendwann eine Diskussion - wer Lust hat, kann ja danach suchen. Augenzwinkern

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