Ableitung von 2^x

30.10.2008, 22:24

django

Ableitung von 2^x

warum ist die ableitung von "2^x"

Ln 2 * e^x

Es kommt vor allem auf das "Ln" an.

kann mir das mal jemand erklären, bitte?

30.10.2008, 22:26

Zizou66

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Man kann die Funktion auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2^x=e^{ln~2^x}=e^{x~ln~2} \end{eqnarray*}$

Wie leitet man denn eine E-Funktion ab?

30.10.2008, 22:27

mYthos

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Du kannst auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} 2^x = e^{x \ln 2} \end{eqnarray*}$

weil man jede Zahl a > 0 als e-Potenz so schreiben kann: $\begin{eqnarray*} e^{\ln a} \end{eqnarray*}$

mY+

01.11.2008, 18:43

Skype

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ich überlege die ganze zeit warum man das auch so umschreiben kann??

01.11.2008, 18:51

tmo

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RE: Ableitung von 2^x

Zitat:

Original von django
warum ist die ableitung von "2^x"

Ln 2 * e^x

Dem ist gar nicht so.

02.11.2008, 04:14

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von Skype

ich überlege die ganze zeit warum man das auch so umschreiben kann??

Die Exponentialfunktion zur Basis e und die natürliche Logarithmusfunktion sind Umkehrfunktionen voneinander, also gilt nach dem Satz

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) = f(f^{-1}(x)) = x \end{eqnarray*}$

das Folgende:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\ln(a)} = a \end{eqnarray*}$

(wobei a irgendeine positive Zahl ist)

Und wenn man dann a = 2^x setzt, erhält man gerade

$\begin{eqnarray*} 2^x = \mathrm{e}^{\ln \left(2^x \right) } \end{eqnarray*}$

Dann nur noch die Regel ln(a^b) = b*ln(a) anwenden, und es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 2^x = \mathrm{e}^{x \cdot \ln(2)} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 10:02

riwe

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RE: Ableitung von 2^x

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von django
warum ist die ableitung von "2^x"

Ln 2 * e^x

Dem ist gar nicht so.

das würde ich schon beachten smile

$\begin{eqnarray*} y=2^x\to lny=x\cdot ln2 \end{eqnarray*}$

(implizit) ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^\prime}{y}=ln2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^\prime=y\cdot ln2 \to y=2^x\cdot ln2 \end{eqnarray*}$

04.11.2008, 23:02

voessli

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RE: Ableitung von 2^x

Zitat:

Original von django

Es kommt vor allem auf das "Ln" an.

wieso kommt es dir vor allem aufs Ln an?

05.11.2008, 21:55

Zizou66

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Ich glaube django wollte damit nur zum Ausdruck bringen das er gerade den Teil der Umformung nicht verstanden hat.

06.11.2008, 15:14

voessli

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Bevor man erklären kann warum die Ableitung Ln2 * 2^x ist, muß man verstehen warum die Ableitung proportional zum y-Wert ist. Die Proportionalität ergibt sich aus der "Selbstähnlichkeit" der Funktion über einem festen Intervall. D.h. über dem Intervall (z.b. 1), egal wo dieses liegt (also z.b. von [0-1] oder [1-2]), ist der Verlauf der Funktion immer gleich, allerdings mit einem bestimmten Faktor multipliziert. Wird die Verschiebung des Intervalls unendlich klein dann entspricht dieser Faktor genau der Ableitung * dem Intervall, wobei diese proportional zum Funktionswert ist.

Offenbar wird der Faktor größer wenn die Basis größer wird. Nun kann man annehmen, dass es eine Funktion gibt bei der der Faktor = 1 ist.
Eine weitere Eigenschaft von Expotentialfunktionen ist, dass sich die Kurven von jeweils allen Funktionen "ähnlich" sind, und zwar sind sie "horizontal" linear gestreckt, also in Richtung x-Achse. Die Logarithmen sind entsprechend linear proportional. Die e-Funktion ist hier der Referenzfunktion, man könnte aber auch jede andere Basis nehmen.
Aus diesen Beziehungen läßt sich dann die Ableitung mit dem genauen Faktor herleiten.

(Übrigens, nimmt man nur die natürlichen Zahlen, dann gibt es auch hier eine "e-Funktion": 2^x, denn die Ableitung ist immer so groß wie der Funktionswert.)

06.11.2008, 15:21

Zizou66

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Sehr schöne Erklärung voessli Freude

Kombiniert mit der in Formelschreibweise von oben, die übrigens dazu gehören sollte, ist für django nun sicherlich klar, wie wir auf den ln kommen Augenzwinkern

Zitat:

Original von voessli

(Übrigens, nimmt man nur die natürlichen Zahlen, dann gibt es auch hier eine "e-Funktion": 2^x, denn die Ableitung ist immer so groß wie der Funktionswert.)

Könntest du das mal genauer ausführen? Das verstehe ich nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$ ist für kein x gleich $\begin{eqnarray*} f'(x)=\ln~2\cdot 2^x \end{eqnarray*}$

Auch nicht für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sondern sogar für keins.

06.11.2008, 15:28

voessli

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das meinte ich nur zur besseren Veranschaulichung im natürlichen Zahlenbereich. also 1,2,4,8,16. Von 1 zu 2 ist es 1 Schritt. Von 2 zu 4 sinds 2 Schritte. Von 4 zu 8, 4 Shritte usw.

Ums alles wirklich zu verstehen sollte man eine Skizze zeichnen.

06.11.2008, 15:39

Zizou66

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Ah, das meinst du. Ja das gibt es wirklich., sogar für jede Exponentialfunktion.

06.11.2008, 16:00

voessli

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eine anschauliche /graphische Erklärung wie man den Wert e erhält würde mich mal interessieren

06.11.2008, 16:08

Zizou66

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Ich kann diesen Link hier nur empfehlen: Eulersche Zahl - Magisterarbeit.

Hier werden viele Verfahren genannt, um e zu nähern. Außerdem sind viele Anwendungen dabei, gefällt dir bestimmt auch.

Übrigens, wenn du nicht immer den Wert nachschlagen willst, auswendiglernen hilft:

2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766...

Ich hab zumindest mal angefangen Augenzwinkern

06.11.2008, 18:35

AlphaCentauri

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RE: Ableitung von 2^x
Hi, vielleicht steh ich ja grad auf dem Schlauch Augenzwinkern

, aber ich versteh nich, wie riwe vorgeht.
Also...mir is bewusst, dass $\begin{eqnarray*} \frac{y}{y'}=ln y \end{eqnarray*}$ , aber wieso ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{y}{y'}=ln 2 \end{eqnarray*}$ ?!
Heißt das, dass $\begin{eqnarray*} y = 2 \end{eqnarray*}$ , aber ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht so definiert: $\begin{eqnarray*} y=2^x \end{eqnarray*}$ ?!

Könnte mir das bitte einer nochmal näher erklären!

Danke im Vorraus

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