Ableitung von 2^x

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django Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von 2^x
warum ist die ableitung von "2^x"


Ln 2 * e^x


Es kommt vor allem auf das "Ln" an.

kann mir das mal jemand erklären, bitte?
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Funktion auch so schreiben:



Wie leitet man denn eine E-Funktion ab?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch so schreiben:



weil man jede Zahl a > 0 als e-Potenz so schreiben kann:

mY+
Skype Auf diesen Beitrag antworten »

ich überlege die ganze zeit warum man das auch so umschreiben kann??
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 2^x
Zitat:
Original von django
warum ist die ableitung von "2^x"


Ln 2 * e^x


Dem ist gar nicht so.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Original von Skype

ich überlege die ganze zeit warum man das auch so umschreiben kann??


Die Exponentialfunktion zur Basis e und die natürliche Logarithmusfunktion sind Umkehrfunktionen voneinander, also gilt nach dem Satz



das Folgende:



(wobei a irgendeine positive Zahl ist)


Und wenn man dann a = 2^x setzt, erhält man gerade



Dann nur noch die Regel ln(a^b) = b*ln(a) anwenden, und es ergibt sich:

riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 2^x
Zitat:
Original von tmo
Zitat:
Original von django
warum ist die ableitung von "2^x"


Ln 2 * e^x


Dem ist gar nicht so.


das würde ich schon beachten smile





(implizit) ableiten:



voessli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 2^x
Zitat:
Original von django

Es kommt vor allem auf das "Ln" an.



wieso kommt es dir vor allem aufs Ln an?
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube django wollte damit nur zum Ausdruck bringen das er gerade den Teil der Umformung nicht verstanden hat.
voessli Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor man erklären kann warum die Ableitung Ln2 * 2^x ist, muß man verstehen warum die Ableitung proportional zum y-Wert ist. Die Proportionalität ergibt sich aus der "Selbstähnlichkeit" der Funktion über einem festen Intervall. D.h. über dem Intervall (z.b. 1), egal wo dieses liegt (also z.b. von [0-1] oder [1-2]), ist der Verlauf der Funktion immer gleich, allerdings mit einem bestimmten Faktor multipliziert. Wird die Verschiebung des Intervalls unendlich klein dann entspricht dieser Faktor genau der Ableitung * dem Intervall, wobei diese proportional zum Funktionswert ist.

Offenbar wird der Faktor größer wenn die Basis größer wird. Nun kann man annehmen, dass es eine Funktion gibt bei der der Faktor = 1 ist.
Eine weitere Eigenschaft von Expotentialfunktionen ist, dass sich die Kurven von jeweils allen Funktionen "ähnlich" sind, und zwar sind sie "horizontal" linear gestreckt, also in Richtung x-Achse. Die Logarithmen sind entsprechend linear proportional. Die e-Funktion ist hier der Referenzfunktion, man könnte aber auch jede andere Basis nehmen.
Aus diesen Beziehungen läßt sich dann die Ableitung mit dem genauen Faktor herleiten.

(Übrigens, nimmt man nur die natürlichen Zahlen, dann gibt es auch hier eine "e-Funktion": 2^x, denn die Ableitung ist immer so groß wie der Funktionswert.)
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schöne Erklärung voessli Freude
Kombiniert mit der in Formelschreibweise von oben, die übrigens dazu gehören sollte, ist für django nun sicherlich klar, wie wir auf den ln kommen Augenzwinkern

Zitat:
Original von voessli

(Übrigens, nimmt man nur die natürlichen Zahlen, dann gibt es auch hier eine "e-Funktion": 2^x, denn die Ableitung ist immer so groß wie der Funktionswert.)


Könntest du das mal genauer ausführen? Das verstehe ich nicht ganz.

ist für kein x gleich

Auch nicht für alle , sondern sogar für keins.
voessli Auf diesen Beitrag antworten »

das meinte ich nur zur besseren Veranschaulichung im natürlichen Zahlenbereich. also 1,2,4,8,16. Von 1 zu 2 ist es 1 Schritt. Von 2 zu 4 sinds 2 Schritte. Von 4 zu 8, 4 Shritte usw.

Ums alles wirklich zu verstehen sollte man eine Skizze zeichnen.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das meinst du. Ja das gibt es wirklich., sogar für jede Exponentialfunktion.
voessli Auf diesen Beitrag antworten »

eine anschauliche /graphische Erklärung wie man den Wert e erhält würde mich mal interessieren
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann diesen Link hier nur empfehlen: Eulersche Zahl - Magisterarbeit.

Hier werden viele Verfahren genannt, um e zu nähern. Außerdem sind viele Anwendungen dabei, gefällt dir bestimmt auch.

Übrigens, wenn du nicht immer den Wert nachschlagen willst, auswendiglernen hilft:

2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766...

Ich hab zumindest mal angefangen Augenzwinkern
AlphaCentauri Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von 2^x
Hi, vielleicht steh ich ja grad auf dem Schlauch Augenzwinkern , aber ich versteh nich, wie riwe vorgeht.
Also...mir is bewusst, dass , aber wieso ist dann?!
Heißt das, dass , aber ist nicht so definiert: ?!

Könnte mir das bitte einer nochmal näher erklären!

Danke im Vorraus
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