Umkehrfunktion

30.10.2008, 22:28

Flaxs

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Umkehrfunktion

Hallo,

ich hätte mal ne frage zu folgendem problem.

Ich hab die Funktion f(x)=1/2 * x ^ -1/3.Jetzt wollte ich hierfür die Umkehrfunktion berechnen und habe allerdings ein problem mit der eigentlichen funktion.
Da ich durch Taschenrechner Rechnen zuerst nur komische werte rausbekommen habe hab ich das progi winfunktion benutzt und mir dort die funktion plotten lassen.

Jetzt stimmen die werte die ich dort auf dem plott hab nicht mit denen überein die ich mim taschenrechner raus bekomme.Also entweder tipp ich das die Falsche zeit falsch ein oder ich hab bei winfunktion en fehler mit der eingabe.wüsste allerdings nicht wo.Ich hab das in winfunktion genauso eingegeben wie oben auch.

Ich bekomme mit dem taschenrechner auch ne ähnlich kurve hin.allerdings sind diie y werte immer bischen höher als bei winfunktion.

kann mir da jemand weiterhelfen.weis echt nicht was ich falsch mache.

die eigentliche umkehrfunktion hab ich rausbekommen mit y=(2/x)³
glaube die ist aber auch falsch.

für ne hilfe vielen dank.

gruß

30.10.2008, 22:38

Jacques

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Hallo,

Hast Du schonmal versucht, den Term mit korrekten Klammern einzugeben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

f(x) = (1/2)*x^(-1/3)

Denn ohne Klammern ist der Ausdruck nicht eindeutig -- ich könnte mir vorstellen, dass die Abweichungen damit zu tun haben.

Die von Dir berechnete Umkehrfunktion ist nicht richtig. Vielleicht kannst Du nochmal die Umformungsschritte aufschreiben?

30.10.2008, 22:45

mYthos

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Plotten kannst du hier sehr fein.

code:
1:	[plot=-2:3,-2:3]x^(-1./3.)/2,1./(8*x^3)[/plot]

mY+

30.10.2008, 23:02

Flaxs

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wow,das ging sehr flott.super!!

hatte eben schon mal geschrieben aber dann war das irgendwie auf einmal weck.

Also ich habe das mit klammern ausprobiert.da kommt das selbe raus.ich hab zb für x=1 mit dem taschenrechner 1.25 für y und mit win funk für y gerade mal 0.18(ca).bei x=2 bekomme ich mit dem taschenrechner für y 1 und bei winfunktion für y gleich 0.09.
vielleicht habe ich das hoch nit richtig eingegeben bei win funktion.(?)

ich wollte auch ein bild reinstellen.aber das ging nicht wegen dem format.die Umformung würde ich gerne hier schreiben ,weis aber nicht wie ich die dritte wurzel darstellen soll.

gruß

30.10.2008, 23:26

Jacques

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Irgendwie gibst Du die Funktion sowohl beim Taschenrechner als auch im Programm falsch ein. verwirrt

verwirrt

Überprüfe doch mal per Hand:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{1}} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{2}} \approx 0{,}4 \end{eqnarray*}$

30.10.2008, 23:51

Flaxs

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Habe es eben noch mal mit klammern eingegeben und kam auch auf die 0,5;0,4 usw.Habe die klammer wohl irgendwie falsch gesetzt mit dem taschenrechner.winfunktion gibt mit aber immer noch falsche werte.

Habe das jetzt mal mit dem editor probiert und das ist die kurve.die werte kann ich hier nicht so genau lesen.Bin mir aber nicht sicher ob ich da jetzt bei x=1 en y von 0,5 habe.naja,mit dem taschenrechner hauts jetzt hin.Mit der Umkehrung habe ich den schritt auch noch mit dem umschreiben.danach habe ich das wohl irgendwie falsch aufgelöst nachdem ich x und y getauscht habe und das dann nach y aufgelöst habe.leider funktioniert der erweiterte editor bei mir nicht,sonst hätte ich probiert meine Umformung hier noch einzugeben.

Trotzdem vielen dank für die hilfe.

MFG

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30.10.2008, 23:57

mYthos

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Deine fehlende Klammernsetzung wird dir zum Verhängnis. Du musst den Exponenten (-1/3) in Klammern setzen.

Beim Plotter beachte: Dezimalpunkt ist kein Komma, sondern Punkt. Bei Brüchen mit ganzen Zahlen hinter die Zahl einen Punkt setzen!
Richtig wäre es also so:

code:
1:	[plot=-10:10,-10:10]0.5*(x^(-1./3.))[/plot]

mY+

31.10.2008, 00:09

Flaxs

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Ok,Danke für den Tipp.

Ich hatte es als Bruch eingegeben und hab nachdem ich dann das x^ in klammern gesetzt habe auch die Richtigen werte raus bekommen.
Hier nochmal das bild im editor.Diesmal hoffentlich richtig eingegeben.

MFG

31.10.2008, 00:12

Flaxs

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AarrrggHHH

Hammer

Hammer

Nochmal:

31.10.2008, 00:15

Flaxs

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Edit (mY+): Eine Klammer war am Ende nicht geschlossen, und der x-Range falsch; korrigiert.

Ist das jetzt korrekt?

31.10.2008, 00:17

Flaxs

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Ich glaubs nit.Naja,is schon spät.

Gute N8.

Gruß

31.10.2008, 01:03

mYthos

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SO, das letzte passt. Wie lautet nun die Umkehrfunktion?
Diese kannst dann auch reinplotten (Funktionen nur mit Beistrich trennen), wenn sie richtig ist, sind beide Funktionen symmetrisch zur Winkelhalbierenden des 1./3. Quadranten (1. Mediane). Sh. meinen 1. Plot, da sind beide eh schon drinnen.

Benütze vor dem Senden die Vorschaufunktion!

mY+

31.10.2008, 12:46

Flaxs

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Hallo,

Ich bin noch an der Umkehrfunktion und werde sie sobald ich die habe hier einstellen.Hab aber nochmal ne frage zur eigentlichen funktion.
Und zwar,warum zeichnet der editor nur im positvien bereich die kurve,ich habe da mit dem taschenrechner auch im Negativen bereich werte. verwirrt

verwirrt

31.10.2008, 13:05

mYthos

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Weil in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Potenzen mit gebrochenem Exponenten (Wurzelfunktion) nur für positive Argumente definiert sind. Dass bei der dritten Potenz auch mehr oder weniger zufällig eine negative Zahl einen Sinn ergibt, ändert nichts daran. In dem Fall muss man die Funktion abschnittsweise definieren.

mY+

01.11.2008, 15:01

Zapfer

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Zitat:

die eigentliche umkehrfunktion hab ich rausbekommen mit y=(2/x)³

Hallo,
ich möchte Flax nicht den Lösungsweg vorwegnehmen, evt. hast du nach dem Tausch von x und y dich bei der umformung vertan, da es ja ursprünglich ^(-1/3) heißt . Ich lerne gerade für meine Vorabiklausur und bin dabei darüber gestolpert.

Wäre das Ergebnis dann:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)= \frac{1}{8} * x^{-3} \end{eqnarray*}$

edit: latex

01.11.2008, 15:57

Jacques

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Zitat:

Original von Zapfer

ich möchte Flax nicht den Lösungsweg vorwegnehmen...

Tust Du aber: unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Flaxs

Ich bin noch an der Umkehrfunktion und werde sie sobald ich die habe hier einstellen.

// Allgemein: Man muss, wie mYthos schon geschrieben hat, diesmal auch Definitions- und Zielmenge beachten!

03.11.2008, 12:57

Flaxs

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Hallo,

habe die formel mal eingegeben und ich glaub die stimmt nicht.also hab zumindest keine werte rausbekommen.vielleicht hab ich wieder eingabe fehler.

hier mal meine umstellung,soweit ich die habe.

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} *x^{-1/3} \end{eqnarray*}$

umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} *\frac{1}{} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

dann x mit y vertauscht.

= \frac{1}{2*\sqrt[3]{y}}

ab hier hab ich jetzt verschiedene versionen.

eine ist:

=(\frac{1}{2x})^{-3}
weiter bin ich noch nicht. traurig

traurig

gruß

03.11.2008, 12:58

Flaxs

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Hallo,

habe die formel mal eingegeben und ich glaub die stimmt nicht.also hab zumindest keine werte rausbekommen.vielleicht hab ich wieder eingabe fehler.

hier mal meine umstellung,soweit ich die habe.

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} *x^{-1/3} \end{eqnarray*}$

umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} *\frac{1}{} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

dann x mit y vertauscht.

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2*\sqrt[3]{y}} \end{eqnarray*}$

ab hier hab ich jetzt verschiedene versionen.

eine ist:

$\begin{eqnarray*} =(\frac{1}{2x})^{-3} \end{eqnarray*}$
weiter bin ich noch nicht. traurig

traurig

gruß

03.11.2008, 13:06

Flaxs

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03.11.2008, 13:10

Flaxs

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Also wenn die umkehrfunktion genau symetrisch zur funktion im dritten quadranten läuft dann stimmt die Gleichung nicht.

Oder?

03.11.2008, 13:39

Jacques

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Hallo,

Nutze doch die Vorschau-Funktion, dann brauchst Du bei einem Fehler im Beitrag nicht einen neuen Post abzuschicken.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu den Umformungen:

Erstmal solltest Du die komplette Gleichung aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Diese soll also nach x aufgelöst werden.

Du schreibst die Potenz um:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

Was wäre der nächste Schritt?

// edit: Dein Ergebnis ist übrigens nicht richtig.

Zitat:

Original von Flaxs

Also wenn die umkehrfunktion genau symetrisch zur funktion im dritten quadranten läuft dann stimmt die Gleichung nicht.

Oder?

Also die ermittelte Vorschrift stimmt, wenn der Graph der Umkehrfunktion und der der Ausgangsfunktion achsensymmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden liegen.

03.11.2008, 14:35

Flaxs

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Als nächstes zusammenschreiben.

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2*\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$

Ich glaube eben habe ich es.Habe die ganze Zeit wohl fehler mit dem doppelbruch gemacht.Hab jetzt raus:

1.) $\begin{eqnarray*} = (\frac{0.5}{x})^3 \end{eqnarray*}$

Da kommen die selben ergebnisse raus wie bei

2.) $\begin{eqnarray*} = (\frac{1}{8} *(x^{-3})) \end{eqnarray*}$

Graph zu eins

Stimt oder?

03.11.2008, 19:29

Jacques

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Jetzt stimmt es. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \frac{1}{8 \cdot x^3} \end{eqnarray*}$

Man hätte die Umformung übrigens ganz einfach machen können (ohne Doppelbrüche o. ä.):

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2 \cdot \sqrt[3]{y}} \ \Longleftrightarrow\ x \cdot \sqrt[3]{y} = \frac{1}{2} \ \Longleftrightarrow\ \sqrt[3]{y} = \frac{1}{2 \cdot x} \end{eqnarray*}$

Und dann potenziert man die Gleichung mit 3, was ja wegen der ungeraden Zahl eine Äquivalenzumformung ist:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{8 \cdot x^3} \end{eqnarray*}$

Beachte noch die Einschränkung des Definitionsbereichs:

$\begin{eqnarray*} D_f = \mathbb{R}_{+}^{\ast} \end{eqnarray*}$

03.11.2008, 19:55

Flaxs

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Puuh,endlich.Na dann Prost

Prost

03.11.2008, 19:57

Flaxs

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Und nochmal danke für die Super hilfe hier.!!! Wink

Wink

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