Halbgruppe

10.08.2006, 17:30

manifold

Halbgruppe

Ich hab mir grad über diese Aufgabe Gedanken gemacht.
Es geht um die Grundlagen und zwar:

Auf einer Menge M ist eine Opertation $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert: $\begin{eqnarray*} x\circ{y}=x \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} (M,\circ) \end{eqnarray*}$ eine Halbgruppe ist. Was lässt sich in Bezug auf die neutralen und inversen Elemente dieser Halbgruppe sagen? Wann ist sie eine Gruppe?

Ich hab mir gedacht:
Die Verknüpfung ist assoziativ, das ist klar, lässt sich leicht prüfen.
Aus der Definition dieser Verknüpfung kann man ablesen, dass jedes Element aus M rechtsneutral ist. Bezüglich eines beliebigen neutralen x ist jedes y aus M linksinvers, x ist also das Linksinverse für y. Aber da y selbst rechtsneutral ist und ein rechtsneutrales Element als Linksinverses besitzt, muss da etwa nicht folgen, dass jedes Element auch linksneutral und rechtsinvers für jedes andere ist? Der Autor schreibt dagegen, dass jedes x nur dann rechtsinvers ist, wenn |M|=1, also mit nur einem Element in M. Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen. Heißt das jetzt, dass in einer Menge mit mehr als einem Element jedes Element daraus als Rechtsneutrale kein Rechtsinverse als rechtsneutales Element haben kann??? Hä?...trotzdem, ich glaub ich hab verstanden, was ich grad gesagt hab verwirrt

...Wenn also die Frage sinnvoll ist und die außerdem positive Antwort hat...kann mir jemand erklären Warum?? smile

10.08.2006, 17:47

JochenX

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ich frage mal ganz einfach: wie definierst du "Linksinverses"/"Rechtsinverses"?
Insbesondere interessiert mich deine Definition, wenn du KEIN Neutralelement hast und das hast du für mehr als 2 Elemente nicht.

10.08.2006, 18:12

manifold

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das Linksinverse l: für alle x aus M gibt es ein l, so dass: l*x=e
das Rechtsinverse r: für alle x aus M gibt es ein r, so dass x*r=e

wenn ich kein Neutralelement hab, kann ich doch keine inversen definieren, die gibt's doch gar nicht.

Du meinst für mehr als 2 Elemente gibt's kein Neutralelement? geschockt

oder hab ich falsch verstanden?

Also, das Rechtsneutrale haben wir. Jetzt muss ich zeigen, dass das Rechtsinverse nur in M mit 1 Element existiert. Ok, man kann schon auf Definition den Blick werfen und sagen, dass von $\begin{eqnarray*} y\circ{x}=x \end{eqnarray*}$ keine Rede ist, und demnach auch vom Rechtsinversen. Aber das überzeugt mich irgendwie nicht.

Vielleicht ist es umgekehrt...Da jedes Element neutral ist, gibt es zu jedem x aus M MEHR als ein inverses Element, was die Bedingung für eine Gruppe verletzt?

10.08.2006, 18:18

JochenX

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Ein neutrales Element muss LINKS und RECHTSNEUTRAL sein. Es muss für alle Elemente diese Bedingung erfüllen.
Aber erst, wenn wir sowas haben, macht Inversenbetrachtung Sinn.

Schauen wir uns mal an, was passiert, wenn M mehr als 1 Element hat.
Seien also x,y verschieden in M.
Dann ist für alle Elemente z in M zx=z, insbesondere kann also kein z außer x linksneutral zu x sein (denn nur xx=x). Klar?
Damit ist x der einzige Kandidat für ein NEUTRALES Element, aber da wir noch das y haben und xy=x, also ist x nicht linksneutral zu y.

Also gibt es KEIN ELEMENT, dass linksneutral zu x und y ist, also kann es kein Neutralelement geben.

Damit hat sich die Inversenfrage auch geklärt.

Für den Fall |M|=1 haben wir natürlich die triviale Gruppe, für den Fall |M|=0 auch nur eine Halbgruppe (die leere).

11.08.2006, 01:01

manifold

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Ok, klar, danke! Darf ich das, was du grad gesagt hast, auch ein bißchen formaler schreiben?:
Wir dürfen ja auch schreiben: $\begin{eqnarray*} y\circ{x}=y \end{eqnarray*}$ . Dann setzen wir diesen Ausdruck für y in $\begin{eqnarray*} x\circ{y}=x \end{eqnarray*}$ ein und erhalten: $\begin{eqnarray*} x=x\circ{y}=x\circ(y\circ{x})=(x\circ{y})\circ{x}=x\circ{x} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\circ{x}=x\circ{y}=x \end{eqnarray*}$ , woraus x=y folgt, im Widersruch zur Voraussetzung, dass x und y verschieden sein sollen.

Ich hab noch da oben einen kleinen Fehler gemacht, der auch mein Verständnis bedrückt hat. Ich hab nämlich gesagt: jedes y aus M ist ein Neutralelement für beliebiges x. Das ist Quatsch, denn wenn schon die Existenz eines Neutralelementes nachgewiesen ist, dann können wir davon ausgehen, dass wir nur mit einem einzigen zu tun haben.

Ist es auch richtig so zu argumentieren? :
Gut, y ist rechtsneutral per Definition. Wenn jetzt x ein neutrales Element ist, dann, da y beliebig aber fest ist, hat jedes Element aus M das Linksinverse - das neutrale x. Das x selbst ist dann von einem beliebigen Element rechtsinvertierbar. Aber das geht nur, wenn M nur ein Element hat, denn das Links- und Rechtsinverse müssen eindeutig bestimmt sein. Dieses eine Element ist also nur von sich selbst invertierbar. Außerdem schließt man aus der Existenz des Linksinversen auf die Existenz des Linksneutralen. ...und so ist die Welt scheinbar in Ordnung, oder?!

11.08.2006, 01:06

JochenX

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Zitat:

Original von manifold
Ok, klar, danke! Darf ich das, was du grad gesagt hast, auch ein bißchen formaler schreiben?:

du darfst, aber:

Zitat:

Wir dürfen ja auch schreiben: $\begin{eqnarray*} y\circ{x}=y \end{eqnarray*}$ . Dann setzen wir diesen Ausdruck für y in $\begin{eqnarray*} x\circ{y}=x \end{eqnarray*}$ ein und erhalten: $\begin{eqnarray*} x=x\circ{y}=x\circ(y\circ{x})=(x\circ{y})\circ{x}=x\circ{x} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\circ{x}=x\circ{y}=x \end{eqnarray*}$ , woraus x=y folgt

ist nicht das, was ich gesagt habe in Formal.
Das ist nämlich Unsinn, ich sehe nichtmal, woraus da x=y folgen soll.

Das x=xx ist, hätte ich dir auch ohne diese Gleichungskette sagen können.

11.08.2006, 01:36

manifold

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Naja, wenn du doch sagst, dass x und y verschieden seien als Voraussetzung, und nur x kann neutral sein, mit xx=x. Gleichzeitig is aber xy=x. Daraus folgt doch, dass y und x das selbe sein sollen, was eben der Voraussetzung mit x und y verschieden und M aus mehr als einem Element widerspricht! x ist in diesem Fall genau dann linksneutral zu y, wenn x=y ist, oder etwa nicht?...steht doch bei dir geschrieben.

Jetzt sag bitte nicht, dass der 2-te Teil weiter unten auch falsch ist. Das ist nämlich die Lösung im Buch! Augenzwinkern

...denn das wäre für mich das Ende! unglücklich

11.08.2006, 02:00

JochenX

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Ich halte die Buchlösung für nicht sehr glücklich (formuliert!?).

Der Beweis, den ich oben bringe, sagt es klipp und klar: es gibt kein Neutrales. Damit erübrigen sich sämtliche Aussagen über Inverse.
Bevor man nix über ein neutrales Element weiß, sollte man einfach nicht von Inversen reden (zumal wenn es wie hier völlig unnötig ist!). Mir scheint, dass sie da ziemlich lang um links- und rechtsneutral/invers reden, bis es sich aus Mitleid zu einer Aussage formt, die sie mit "das Neutrale ist eindeutig" zu einem Beweis formen können.
Die Buch-Aussage ist sicher richtig, aber sie gefällt mir nicht.

Aber bitte, wenn es darum geht, zu zeigen, dass das ab zwei Elemeten keine Gruppe ist, hier noch kürzer:
Annahme: M Gruppe, x<>y
Es ist (x=)xx=xy und jetzt multipliziere mit dem Inversen (nach Annahme) von x von links durch. WIDERSPRUCH.

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