Integral mittels Reihenentwicklung

10.08.2006, 20:41

sammy2ooo

Integral mittels Reihenentwicklung

Guten Abend allerseits,

folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie folgendes bestimmtes Integral I mittels Reihenentwicklung (auf 4 Stellen nach dem Komma)

$\begin{eqnarray*} I = \int_{0}^{0.5}~sin(2x)*(1-x^2)^{\frac{-3}{4}}~dx \end{eqnarray*}$

Hm also ich weiß, dass sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... ist.

Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich dieses Problem angehen könnte. Kann mir jemand den Schubser in die richtige Richtung geben?

Gruß,
Matze

10.08.2006, 20:47

sammy2ooo

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wow krass, darf ich daraus folgendes machen?

$\begin{eqnarray*} I*(1-x^2)^{\frac{3}{4}} = \int_{0}^{0.5}~sin(2x)~dx \end{eqnarray*}$

10.08.2006, 21:27

riwe

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besser nicht!
sin und klammerausdruck (in reihen) entwickeln, multiplizieren....
werner

10.08.2006, 21:51

sammy2ooo

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Hoi Werner,

merci für deine Antwort. Also du meinst sowas in der folgenden Form draus machen.

$\begin{eqnarray*} I = \int_{0}^{0.5}~(2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}-\frac{(2x)^7}{7!})*(1- {-3/4 \choose 1} + {-3/4 \choose 2}*x^2 - {-3/4 \choose 3}*x^3)~dx \end{eqnarray*}$

ist übel mit den (-3/4)! ....

edit von sqrt(2): Seitenbreite

10.08.2006, 21:56

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Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} \end{eqnarray*}$ ist für beliebige reelle x nicht über Fakultät definiert!

12.08.2006, 13:20

sammy2ooo

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jo, dachte mir schon das da was faul ist. Wie aber forme ich nun

$\begin{eqnarray*} (1 - x^2)^{-3/4} \end{eqnarray*}$ in ne Reihe um?

Gruß,
Matze

12.08.2006, 13:57

ich bin smile

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Stichwort: Potenzreihenentwicklung

12.08.2006, 13:59

20_Cent

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auch Taylor genannt.

12.08.2006, 14:17

ich bin smile

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Damit du die ganze Sache etwas besser verstehst:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Taylor

Idee!

12.08.2006, 14:46

therisen

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Zitat:

Original von sammy2ooo
$\begin{eqnarray*} (1 - x^2)^{-3/4} \end{eqnarray*}$ in ne Reihe um?

Die binomische Reihe, die du eigentlich kennen solltest, hilft dir da weiter. Du musst das Rad nicht neu erfinden Big Laugh

Gruß, therisen

12.08.2006, 18:58

sammy2ooo

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danke für eure Antworten, trotzdem hab ich das noch nicht hinbekommen. unglücklich

$\begin{eqnarray*} (1-x^2)^{\frac{-3}{4}} = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(-(x+1)(x-1))^{\frac{-3}{4}}} \end{eqnarray*}$

hm und nu???

12.08.2006, 19:04

20_Cent

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der letzte schritt ist falsch...

kennst du die binomische reihe?

dann wende sie an. (direkt, ohne umformen!)

mfG 20

12.08.2006, 19:09

therisen

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Oh je, was hast du denn da angestellt?

Es ist $\begin{eqnarray*} (1+z)^s = \sum_{k=0}^\infty {s \choose k}z^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} z:=-x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} (1-x^2)^{-\frac{3}{4}}= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k {-\frac{3}{4} \choose k}x^{2k} \end{eqnarray*}$ . Überlege dir noch, für welche x dies gilt.

Gruß, therisen

12.08.2006, 19:14

sammy2ooo

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okay soweit ist mir das schon klar, nur habe ich ein problem mit

$\begin{eqnarray*} {-\frac{3}{4} \choose k} \end{eqnarray*}$

dachte es gilt $\begin{eqnarray*} n \in N* \end{eqnarray*}$

12.08.2006, 19:18

therisen

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} \end{eqnarray*}$ ist für beliebige reelle x nicht über Fakultät definiert!

12.08.2006, 19:19

20_Cent

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siehe arthurs post...

edit: zu spät, ich bin jetzt weg, patient gehört dir, therisen Augenzwinkern

12.08.2006, 19:48

sammy2ooo

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sorry aber meine Papulaformelsammlung sagt auf Seite 14 eindeutig $\begin{eqnarray*} n \in N* \end{eqnarray*}$

wie soll ich sonst $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{4}! \end{eqnarray*}$ ausrechnen? Ehrlich gesagt verstehe ich Arthurs aussage nicht. geschockt

Zitat:

Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} \end{eqnarray*}$ ist für beliebige reelle x nicht über Fakultät definiert!

merci für eure Gedult

12.08.2006, 19:54

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Du sollst auch nicht -3/4! berechnen, denn das kannst du nicht, wie Arthur richtig gesagt hat. Für reelle x lautet der Binomialkoeffizient:

$\begin{eqnarray*} {x \choose k} := \frac{x(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-k+1)}{k!} \end{eqnarray*}$

Das ist scharf zu unterscheiden von $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ , wo man das über die Fakultät machen kann, weil man es hier mit natürlichen Zahlen zu tun hat. Aber du hast hier ein reelles x

12.08.2006, 20:48

therisen

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Zitat:

Original von sammy2ooo
sorry aber meine Papulaformelsammlung sagt auf Seite 14 eindeutig $\begin{eqnarray*} n \in N* \end{eqnarray*}$

wie soll ich sonst $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{4}! \end{eqnarray*}$ ausrechnen? Ehrlich gesagt verstehe ich Arthurs aussage nicht. geschockt

Zitat:

Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} \end{eqnarray*}$ ist für beliebige reelle x nicht über Fakultät definiert!

Vielleicht ist es dir ja entgangen: Der unterstrichene Teil in seinem Beitrag stellt einen Link dar: Beweis für Binominalkoeffizientenrechnung Da kannst du drauf klicken, dann bekommst du die Erklärung Augenzwinkern

Gruß, therisen

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