Minimalpolynom

10.08.2006, 20:42	Jochen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Hallo zusammen, ich bin gerade für mein LA-VD zu lernen und habe ein kleines Problem mit dem Minimalpolynom. Mir ist klar, dass es das kleinste normierte Polynom ist, bei dem, wenn man die Martix einsetzt immer noch Null rauskommt. Die Frage ist nun nur, wir bestimme ich es? Bei kleinen Matrizen kann ich das charakteristische Polynom bestimmen und dieses dann faktorisieren. Durch ausprobieren komme ich schon auf eine Lösung, aber ich mein, dass muss doch auch anders gehen, denn spätestens bei großen Matrizen ist das ja nur suboptimal. Danke.
11.08.2006, 10:26	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal was vom Invariantenteilersatz gehört? Du kannst auch den Jordanalgorithmus anwenden. Ne einfache Möglichkeit gibts glaub ich nicht mfG 20
11.08.2006, 19:39	Jochen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, den Invariantenteilersatz habe ich noch nicht gehört. Hast du nen Link dazu? Ich kenne nur den Gaus-Jordan-Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, aber der ist sicher nicht gemeint.
11.08.2006, 20:11	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn du beides noch nicht gehört hast, darfst du es mit Sicherheit auch nicht anwenden... ist jedenfalls bei uns so. Müsst ihr überhaupt Minimalpolynome ausrechnen? Das würde ich zuerst klären Bei kleineren Matrizen, bzw. Matrizen, deren charakteristisches Polynom in viele verschiedene (und wenig gleiche) Faktoren zerfällt, kann man das Minimalpolynom schnell durch ausprobieren erhalten. mfG 20 edit: weißt du irgendwas über die charakteristische Matrix (A-x*E, E Einheitsmatrix) und ihre Potenzen?
11.08.2006, 21:50	Jochen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich war eigentlich nur neugierig, weil in der Mathematik eigentlich immer alles eindeutig definiert ist und dies das erste Mal war, wo der Prof uns nichts handfestes gegeben hat. Mein Wissen beschränkt sich auf das, was man halt so in LA I/II so hört. Bis jetzt mussten wir das Minimalpolynom immer nur von recht kleinen Martizen ausrechnen. Da wars entweder eh eindeutig, da das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerviel oder ich habe es ausprobiert. Ich bilde mir ein irgendwo gelesen zu haben, dass am (A-xE)^n so lange berechnet, bis sich der Rang nicht mehr ändert. Das gibt dann die Potenz zum Eigenwert x an. Aber wo ist da der Zusammenhang???
12.08.2006, 00:15	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Rang stimmt, das folgt aus dem Jordanalgorithmus. Komisch, dass ihr den nicht hattet... Ich hab bisher auch nur LA I und II gehört g mfG 20
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13.08.2006, 05:46	fddgfg	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Matrix in Jordannormalform bringt kann man das Minimalpolynom quasi ablesen. Jordannormalform sieht so aus: -Blöcke zu jeweils einem Eigenwert (es kann auch mehrere Blöcke zum gleichen Eigenwert geben) - die Blöcke sind so angeordnet, dass der jeweilige Eigenwert auf der der Diagonalen auf der Diagonalen der Gesamtmatrix steht. - Über den Eigenwerten (bis auf den ersten) stehen 1er. also z.B. sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.08.2006, 11:37	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe mein erster post... da jochen1234 die jordannormalform aber nicht kennt, wird er sie auch nicht benutzen dürfen... mfG 20

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