Ungleichung mit Logarithmen

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31.10.2008, 10:45	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Logarithmen moin Leute! Also ich habe eine relativ einfache Ungleichung gelöst, wobei mir jemand sagte, dass man vielleicht bei einer Ungleichung keine Logarithmengesetze anwenden kann. Dementsprechend würde ich gerne wissen, ob das stimmt. Als Aufgabe hatten wir z.B. die folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} 2n + 1 \leq 2^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 3 \end{eqnarray}$ An dieser Aufgabe sollte die vollständige Induktion gemacht werden. Um alles ein bisschen abzukürzen, steht bei dem Induktionsschluss zuerst: $\begin{eqnarray} 2(n+1) + 1 \leq 2^{n+1} \end{eqnarray}$ Und nach ein bisschen knobeln: $\begin{eqnarray} 2n + 3 \leq 2^{n + 1} \end{eqnarray}$ Nun würde ich die Logarithmengesetze anwenden und würde auf folgende Umformungsgleichung kommen: $\begin{eqnarray} log_2(2n+3) \leq n+1 \end{eqnarray*}$ Kann man das so machen d.h. die Logarithmengesetze anwenden?? Falls ja, wäre ja alles geklärt und meine Aufgaben wären richtig, da es einen eindeutigen Induktionsbeweis gibt, wenn man weiter rechnen würde. MFG Majin_Clodan[
31.10.2008, 10:47	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Logarithmen Logarithmen anwenden ist hier Unfug. Du sollst das doch mit vollständiger Induktion machen. Nimm dazu $\begin{eqnarray} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray}$ und schätze das mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung nach unten ab.
31.10.2008, 10:48	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Wie würdest Du denn jetzt weiterrechnen wollen?
31.10.2008, 10:57	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
@ klarsoweit: Stimmt, das geht ja auch. xD Aber würde das mit meiner Variante auch gehen d.h. wäre es mathematisch korrekt? @ Jacques: Nun es würde dann folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray} ln(2n + 3) - ln(2) \leq n + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(2n + 3) \leq n + 1 + ln(2) \end{eqnarray}$ Nun würde ich zeigen, dass ich hier nun fertig wäre. Dementsprechend steht bei mir noch als Beweis: $\begin{eqnarray} x -> \infty und x -> 0_+: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(x) < x \end{eqnarray}$ MFG Majin_Clodan
31.10.2008, 12:30	ajax2leet	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib statt $\begin{eqnarray} x -> \infty und x -> 0_+: \end{eqnarray}$ einfach "für x > 0" Edit: Moment, wie kommst du auf $\begin{eqnarray} ln(2n + 3) - ln(2) \leq n + 1 \end{eqnarray}$ ? Es müsste doch: $\begin{eqnarray} \frac{ln(2n + 3)}{ln(2)} \leq n + 1 \end{eqnarray}$ heißen? Außerdem folgt aus $\begin{eqnarray} ln(x) < x \end{eqnarray}$ nicht unittelbar $\begin{eqnarray} ln(2x+3) < x+1 + ln(2) \end{eqnarray}$
31.10.2008, 15:21	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups! Da gab es doch einen logischen Fehler. Gut das du es sagst. Ja, es sollte so heißen, wie du es geschrieben hast. Trotzdem aber genügt doch der Beweis d.h.: ln(x) < x Er genügt deswegen aus meiner Sicht, da auf der Seite, wo das ln(x) steht, keine anderen Zahlen stehen und auf der Seite, wo das x steht, noch mehr positive Zahlen. Ich werde es nun ein bisschen überarbeiten, nachdem du mir diesen Fehler gezeigt hast. THX. MFG Majin_Clodan
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31.10.2008, 15:47	ajax2leet	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es gilt doch $\begin{eqnarray} 2x+3 > x+1 + ln(2) \end{eqnarray}$ für x>0!
31.10.2008, 15:47	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu dem Vorgehen möchte ich mich gar nicht äußern, aber eins sei gesagt: Aufgabe verfehlt. Die Aufgabe ist es nicht, das zu beweisen, sondern es mit VI zu beweisen. Wenn du etwas anderes machst, ist es schlicht und ergreifend falsch im Sinne der Aufgabe. Wenn du klarsoweits Post derartig ignorierst, hast du aber einfach Pech gehabt schulterzuck Im Übrigen solltest du dir nochmal genau überlegen, was Vollständige Induktion eigentlich ist. Der ganze Witz daran ist doch, dass du nicht die Aussage für (n+1) beweist, sondern dass du beweist, dass sie für (n+1) stimmt, sofern sie auch für n stimmt (und für einen konkreten Wert wie n=3). air
02.11.2008, 09:31	Majin_Clodan	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin! Ja okay, ihr habt recht. Es ist viel einfacher mit der Variante von klarsoweit. Ich wollte aber einfach mal schauen, ob meine Variante auch funktioniert, aber da müsste ich noch ein bisschen üben. Außerdem sieht mit der anderen Variante alles viel einfacher und übersichtlicher aus und dies ist besser für den Korrekteur. Herzlichen Dank an: klarsoweit ajax2leet Airblader Bis zum Nächsten Mal! MFG Majin_Clodan

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