Konvergenz von Folgen: Cauchy-Kriterium vs. ln(x)

31.10.2008, 11:03	axelt	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen: Cauchy-Kriterium vs. ln(x) Guten Tag, mir ist da ein kleiner Widerspruch aufgefallen: Zum einen gilt, dass wenn für eine Folge das Cauchy Kriterium gilt, also $\begin{eqnarray} \mid a_m-a_n \mid < \epsilon \hspace{0.4cm} \forall m,n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Folge konvergiert. Wenn ich jedoch die Folge $\begin{eqnarray} a_n=ln(n), n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ betrachte, erfüllt diese das Cauchy Kriterium, da die Abstände zweier Folgewerte fortlaufend abnehmen, jedoch existiert kein Grenzwert.
31.10.2008, 11:16	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Folgen: Cauchy-Kriterium vs. ln(x) Es geht beim Cauchy-Kriterium nicht um den Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgenwerte, sondern um den Abstand aller Folgenwerte zueinander ab einem Indexwert.
31.10.2008, 11:17	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Siehe Dir das Cauchy-Kriterium nochmal genau an: Eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn es für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\ast} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gibt, sodass für alle natürlichen Zahlen m,n größergleich als N gilt: $\begin{eqnarray} \|a_m - a_n\|< \varepsilon \end{eqnarray}$ . Nirgendwo ist die Rede davon, dass nur aufeinander folgende Glieder den Abstand epsilon unterschreiten müssen! Vielmehr sollen alle Glieder ab einschließlich a_N einen kleineren Abstand als epsilon voneinander haben. Also die Forderung beim Cauchy-Kriterium ist viel stärker. Und diese Eigenschaft erfüllt die ln-Folge eben nicht.
31.10.2008, 16:01	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber gut, dass man hiermit mal ein leicht zu merkendes Gegenbeispiel hat. Werde ich mir merken.

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