stochastische Konvergenz

31.10.2008, 16:09	libelle	Auf diesen Beitrag antworten »
stochastische Konvergenz Hallo, ich hab ein Problem zu einem Beweis von stochastischer Konvergenz. Und zwar soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_i^n{\frac{1}{h^d}K(\frac{X_i-x}{hn})g(Y_i)}\stackrel{stoch}{\rightarrow} \end{eqnarray}$ Bliblablubb geht. Die speziellen Ausdrücke hier sind eigentlich gar nicht so arg von Bedeutung. Ausser vielleicht, dass meine (Xi, Yi) unabhängig identisch verteilt sind. Tipp für einen Ansatz ist, den Erwartungswert von obigem $\begin{eqnarray} E[\frac{1}{n}\sum_i^n{\frac{1}{h^d}K(\frac{X_i-x}{hn})g(Y_i)}] \end{eqnarray}$ zuberechen. Der geht für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gegen genau das Bliblablubb von oben, also $\begin{eqnarray} E[\frac{1}{n}\sum_i^n{\frac{1}{h^d}K(\frac{X_i-x}{hn})g(Y_i)}]\rightarrow \end{eqnarray}$ Bliblablubb Dann wird noch die Varianz des Ausdrucks berechnet. Die geht für n gegen unendlich gegen 0. (was allerdings bei mir nicht rauskommt), also $\begin{eqnarray} Var[\frac{1}{n}\sum_i^n{\frac{1}{h^d}K(\frac{X_i-x}{hn})g(Y_i)}]\rightarrow0 \end{eqnarray}$ Damit soll dann die stochastische Konvergenz gezeigt sein. Wieso?? Ich kenn nur, dass, wenn X_i, i =1, ..., n Zufallsvariablen sind mit gleichem Erwartungswert E[X_i]=µ. Dann gilt für den Fall, dass $\begin{eqnarray} lim_{n \rightarrow \infty} Var[\frac{1}{n}\sum_i^n X_i]= 0 \end{eqnarray}$ dann stochastische Konv. von $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_i^n X_i \end{eqnarray}$ gegen µ gilt. Das ist aber nicht wirklich das, was oben gemacht wird. Ich hab dort ja nur den asymptotischen Erwartungswert. Gibt es irgendeinen Satz über asymptotischen Erwartungswert und Varianz, der was über stochastische Konvergenz gegen den asymptotischen EW aussagt? Wär nett, wenn jemand helfen könnte! Lasst euch nicht von der unschönen Formel abschrecken ;-)
03.11.2008, 12:51	libelle	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff Hat keiner Rat? Ok, ich formulier es nochmal in vereinfachter Form: ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray} X_n \rightarrow X \end{eqnarray}$ P-Stochastisch für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ Das heißt, ich muss zeigen: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \lim_{n\rightarrow \infty} P[\|X_n - X\| > \epsilon] = 0 \end{eqnarray}$ Ich kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} E[X_n] \rightarrow X \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var[X_n] \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Jetzt kann ich Tschebyscheff anwenden: $\begin{eqnarray} P[\|X_n - E[X_n]\| > \epsilon] \leq \frac{Var[X_n]}{\epsilon^2} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ Dann hab ich stoch. Konvergenz von $\begin{eqnarray} X_n \rightarrow E[X_n] \end{eqnarray}$ . Kann ich dann sagen, dass stoch Konvergenz von $\begin{eqnarray} X_n \rightarrow X \end{eqnarray}$ gilt, weil $\begin{eqnarray} E[X_n] \rightarrow X \end{eqnarray}$ . Ist nicht ganz sauber so, kann jemand helfen? Danke!!!

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