Facharbeit: Restklassen und Anwendung |
| 31.10.2008, 16:43 | Geiermann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Facharbeit: Restklassen und Anwendung ich hätte nie gedacht, dass ich mal Hochschulmathematikbereich etwas schreiben muss, aber nun ist es halt so. Wie man jetzt sehen kann ist mein Thema der Facharbeit „Restklassen und Anwendung“. Dieses Thema kommt nicht von mir, sondern von meinem Lehrer, als ich ihm diese Ideenliste gab:
Was mir jetzt ein bischen Angst macht ist, dass der Lehrer meint das es Uni-Stoff wäre. Ist es dennoch für mich machbar? Weil der Lehrer meint dann, dass es ein gutes Thema ist zu den mal viel machen kann. Außerdem kommt es bei ihm besonders auf die Anwendung an (deshalb auch der vom Lehrer gewählte Name). Als erstes habe ich mich natürlich auf die Suche nach Facharbeiten gemacht, die ähnliche Themen behandeln und dabei bin auf das gestossen: [attach]9008[/attach] Kann ich damit sehr viel anfangen? An welche Punkte könnte ich mich denn so orientieren? Zum Beispiel geht es hier ja um Restklassenringe/körper. Ist das jetzt zu weit ins Thema gegriffen oder ist das genau richtig so? Weil das sieht dort alles sehr theoretisch aus und ich glaube sogar, dass es dort keine Anwendung gibt. Und wenn man bedenkt, dass man nur 12 Seiten schreiben darf, weiß ich nicht wo man die Anwendung noch mitreinbringen kann. Mein nächste Frage ist: wo braucht man heutzutage alles die Restklassen alles? Ich weiß, dass die Informatik es verwendet, aber wo noch? Und was versteht ein Mathelehrer genau unter „Anwendung“? Muss man da jetzt zum Beispiel nur beschreiben, wie man das Osterdatum berechnet oder geht es noch weiter? Wie könnte man denn eigene Aufgaben erfinden? Ich würde gerne etwas exotischere Experimente machen, wo der Lehrer die Lösung nicht auf Anhieb weiß. Kommt sowas denn gut an bei der Bewertung? Ist es auch möglich etwas mitreinzunehmen, wo man etwas grafisch darstellen kann wie z.B. bei der Stochastik? Was ich auch noch gerne wissen würde ist, ob die Zahlen und Rechnungen zu den Text gehören oder nicht. Und mit welchen Programm kann man denn solche Formel machen wie mit Latex? Hab nämlich jetzt auch keine Lust das im Latex-Stil zu machen, da es für eine Facharbeit eher unpassend ist. Es sollte schon eher so sein wie im Anhang. Abschließend möchte ich noch das wissen: Da mein Thema ja Uni-Stoff ist, ist es doch nur logisch, dass ich zur einer Uni gehe und dort mal nachfrage. Kann man das denn so einfach machen? Weil der Lehrer selbt hat mir empfohlen zur Erziehungswissenschaftliche Fakultät in Köln zu gehen, da sie dort eine Bücherei hätten oder so. Kann man da auch vielleicht einen Professor oder so fragen wie man etwa machen kann oder ist das schon zu viel verlangt? Okay ich glaube das ist genug für den Anfang. Ich hoffe, dass ihr mir sehr helfen könnt, da ich als Grundkursler schon etwas mehr Hilfe brauche. Danke schon im vorraus. Mit freundlichen Grüßen Geiermann |
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| 31.10.2008, 17:13 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, also ich finde das Thema schon recht schwierig, da man in der Schule normalerweise überhaupt gar nichts in Richtung Gruppe, Ringe, Körper macht und das dann für einen normalerweise komplett neu ist. Wenn dir aber der Begriff 'Ring' und 'Äquivalenzklassen' was sagt, bzw. du dir darunter etwas vorstellen kannst, dann kann man das durchaus bearbeiten. Ist aber weit über Schulstoff hinaus (ca. 2 Semester Mathestudium, manchmal aber auch schon 1. Semester). Aber: Bitte bitte keine Facharbeiten zu diesem Thema verwenden! In den ersten drei Seiten sind schon diverse Fehler/Unstimmigkeiten enthalten. Wenn dann ein Algebra Buch sich besorgen (wobei die als Schüler zu verstehen ist auch nicht ganz einfach). Anwendungen gibt es von Restklassen genügend, angefangen bei unserer Zeitrechnung (ist Z modulo 24Z), diverse Bereiche in der Kryptographie (asymmetrische Verschlüsselung, z.B. RSA, diskreter Logarithmus, Secret Sharing & Secret Splitting auf endlichen Körpern, eliptische Kurven), Rechenregeln beweisen (z.B. eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist), größter gemeinsamer Teiler / erweiterter euklidischer Algorithmus (spielt oft auch mit Restklassen zusammen), beweise das manche Polynome irreduzibel sind, schnelles potenzieren modulo m (z.B. 2^1001 mod 17) usw. Also schreiben könnte man genug. Aber ob man es als Schüler schafft, diese Themen wirklich zu verstehen, ist ne ganz andere Frage. Du wirst kaum eliptische Kurven (>5. Semester) oder irreduzibilität von Polynomen verstehen können, da das einfach zu hoher Stoff ist. Zu deiner Ideenliste: Was hat Gaußklammer oder andere Rechenmethoden mit Kongruenzen zu tun? Ebenso was verstehst du unter dem Programm Modulo? Und Anwendungen aus der Stochastik fallen mir mit Kongruenzen auch nicht ein. Denn rein Formal sind zwei Elemente kongruent, wenn gilt: , wobei I ein Ideal ist. Beschränkt man sich nur auf Ganzzahlen, was in deinem Fall sinnvoll wäre, lässt sich dies erheblich vereinfachen: Aber: Um hier formal korrekt zu arbeiten und nicht so halbwahrheiten wie in der angehängten Facharbeit zu produzieren muss man schon sehr Tief in die Materie eintauchen und sehr viel lesen. Ob man das als Schüler schafft... Ansonsten: Man sollte eine mathematische Arbeit immer mit LaTeX erstellen. Dies nimmt unheimlich viel Arbeit ab und das Ergebnis sieht erheblich professioneller aus. Eine Sache die mich an der Facharbeit stört ist dieser Word-Style, da man mit Word kaum vernünftige (und schöne) mathematische Sachen ausdrücken kann. |
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| 31.10.2008, 18:44 | Geiermann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hmmm das sind ja nicht gerade ermutigende Worte. Hab mir schon gedacht, dass es schon schwer ist, aber das es so hart ist hätte ich nicht gedacht. Ich mein der Lehrer hat ja gesagt, dass es Uni-Stoff wäre, aber trotzdem meint der auch, dass es gut ist als Fachabreitsthema.
Kann jetzt nicht die Richtigkeit dieser Facharbeit beurteilen, aber wie ist es denn vom Aufbau her? Dass man für Restklassen viel Vorarbeit leisten muss, hat man schon mir in einen anderen Thread gesagt, aber ich kann ja noch mein Facharbeitsthema umformulieren. Wie du ja schon gesagt hast, gibt es einige Anwendungsgebiete und wäre es nicht sinvoller, wenn man sich auf eins spezialisiert? Ich weiß nur, dass RSA schon vergeben ist. Kann ich jetzt alle Theme vergessen, die mit Verschlüsselung zu tun haben oder ist das Themegebiet so groß, dass man andere Verschlüsselungsverfahren als Thema nehemen kann? Ich glaube nämlich, dass die eine Spezialisierung meines Themas der Schlüssel zum Erfolg ist.
Wie schon gesagt das ist nicht gerade ermutigend. Gibt es denn einen Anwendungsbereich, der vielleicht etwas schülerfreundlicher ist? Weil ich krieg jetzt schon sowas wie Panik und möchte nichts falsches machen. Ich glaub ich hab für die Facharbeit bis ca. Mitte Februar 2009 Zeit oder so. Ist das genug Zeit, um sowas neben der Schule so zu verstehen, so dass man dieses wissen für die Facharbeit anwenden kann? Bei welchen Themengebiet muss man sich verleichsweise am wenigsten Wissen aneignen?
Diese Ideenliste war auch nur für mich so eine Art Brainstorming, damit ich sehe, was alles mit mein Thema zu tun haben könnte. Das da jetztalso Sachen zusammen stehen, die nicht zusammen passen, kann gut sein. Das Prgramm "Modulo" ist eine Software, womit man das Modulo, Kongruenz und Z/mZ berechnen kann. War auch übrigens bei der angehängten Facharbeit dabei war und ich habe mir dabei gedacht, dass man dieses Tool als alternativen Lösungsweg nennen und beschreiben könnte. Mit was sollte ich mich am besten zuerst befassen, um das ganze zu verstehen? Was wäre denn die logische Reihenfolge von den Stoff was man lernen muss? |
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| 31.10.2008, 19:12 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich schreibe auch gerade meine facharbeit. und zwar über das Thema "Bogenlänge bei Kreis, Ellipse und Parabel", was definitiv Unistoff ist. Es ist viel Arbeit, aber möglich. Such dir ein paar gute Bücher, frag auch deinen Lehrer und gib nicht auf, wenn du was nicht peilst 
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| 31.10.2008, 20:21 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, naja das Thema RSA kann man von mehreren Seiten behandeln, entweder von der 'Dummi-Seite': Man wähle zwei Primzahlen p,q, bilde n=p*q, wähle ein e, verschlüssel einen Wert x mit x^e mod n. Wenn man es aber so macht, ist es mathematisch überhaupt gar nicht fundiert. Warum ist z.B. bei der Entschlüsselung (x^e mod n)^d mod n = x, wobei d der private Schlüssel ist? Würde man RSA wirklich fundiert abhandeln wollen, müsste man die Begriffe Gruppe, Ringe, Äquivalenzrelation, Ideale, Kongruenz, Restklassen, Restklassenring mindestens einführen. Dazu dann noch den größten gemeinsamen Teiler und euklidischen Algorithmus, wie man 'modulo n' schnell faktorisiert (eine hundertstellige Zahl hoch einer dreihunderstelligen Zahl lässt sich nicht mal eben so berechnen). Bin mir relativ sicher, dass soetwas in einer Facharbeit über RSA nicht behandelt wird (finde Facharbeiten über Verschlüsselung eh langweilig, da ausgelutscht). Ansonsten kannst du ja die Hinarbeit zu RSA leisten. Du führst ein, was Gruppen, Ringe, Körper sind, warum in einem Körper z.B. a*b = 0 genau dann wenn (<=>) a=0 oder b=0 gelten muss und warum es Ringe gibt, in denen soetwas nicht gilt (sogenannte Nullteiler, d.h. a*b=0 obwohl weder a noch b null ist). Dann wie Kongruenz definiert ist (hier kann man sich ruhig auf Kongruenzen in den ganzen Zahlen beschränken) und welche Rechenregeln es da so gibt. Evt. chinesischer Restsatz (eher schwieriger), kleine fermatsche Satz und wie man damit z.B. 8^167042 mod 17 leicht per Hand berechnen kann und wie man diesen Satz als Primzahlentest verwenden kann (sowie welche Probleme es gibt). Dies muss man natürlich mit der RSA Arbeit abstimmen. Ansonsten: Anfangen solltest du, indem du dich schlau machst, was Gruppen, Ringe, Körper sind. Das ist wirklich fundamental für so ein Thema. |
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| 01.11.2008, 09:33 | Geiermann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kann gut sein, dass solche Verschlüsselungsthemen ausgelutscht sind. Eine aus meiner Stufe musste schon sein RSA-Thema deswegen aufgeben, da es schon vergeben ist. Deshalb kann ich ja RSA schon ganz vergessen. Kommen nochmal zur angehängeten Facharbeit (egal wie falsch die ist): dort werden ja am Anfang ganz die Grundlagen ganz kurz beschrieben (wie Definitionen eigentlich) und dazu noch ein paar Beispiele gegeben. Reicht es, wenn man es so für eine Facharbeit macht? Ich habe hier mal was über Gruppen gefunden. Sieht das jetzt nur so kompliziert aus oder ist es tatsächlich so? Reicht es wenn man das ganze in Kurzform zu machen (diese Axiome) würde und zu jedem Axiom ein Beispiel macht? Außerdem habe ich hier noch was gefunden. Okay da steht jetzt in der Kurzinformation, dass es für "begabte" Schüler ist. Ich bin zwar nicht mehr in der 8, aber ich bin weit weg davon entfernt ein Mathegenie zu sein. Trotzdem macht es mich neuierig, dass die da schon mit Restklassen anfangen ohne diese Grundlagen vorher zu erklären. Ist das jetzt nur, da es für "begabte" gedacht ist oder ist es auch eine Methode es zu lernen und anzuwenden? Das sieht nämlich schon weitaus unkomplizierter aus, kann aber auch nur meine selektive Wahrnehmung sein, da es bunt ist. Ist diese Quelle denn allgemein zu e gebrauchen? Hier wird ja als Beispiel das berechnen des Datums angegeben, aber was kann man noch mit den Wissen, was dort vermittelt wird, noch berechnen? |
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