Beweis fürs Pascalsche Dreieck

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis fürs Pascalsche Dreieck
Hi, ich hab einen Beweis für die Ableitungsregel für x^n gefunden. Dabei bräuchte ich allerdings den Beweis für den Binomischen Satz, also für die Koeffezienten, die mit dem Pascalschen Dreieck gegeben sind. Kann mir jemand einen Beweis dafür geben?? Wenns geht natürlich meinen Ansprüchen entsprechend. (Die meisten wissen ja, was ich grundlegend kann.)
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis fürs Pascalsche Dreieck
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Hi, ich hab einen Beweis für die Ableitungsregel für x^n gefunden. Dabei bräuchte ich allerdings den Beweis für den Binomischen Satz, also für die Koeffezienten, die mit dem Pascalschen Dreieck gegeben sind. Kann mir jemand einen Beweis dafür geben?? Wenns geht natürlich meinen Ansprüchen entsprechend. (Die meisten wissen ja, was ich grundlegend kann.)


Hiho.
Also die Potenzregel habe ich auch auf meiner Homepage bewiesen, kannst du dir ja vielleicht mal ansehen. Und zu deinem Binomischen Satz, den kann man meiner Meinung nach nicht in 2 Sätzen erklären, was genau fehlt dir?

Gruß
Hanno
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis fürs Pascalsche Dreieck
Ich hab schon einen Ansatz:
Für 2 und auch 3 ist es ja ziemlich bekannt. Ich hab mir gedacht, vielleicht geht da was mit Induktion, nur kenn ich mich damit noch nicht so gut aus.


@m00xi
Deinen Beweis habe ich, glaube ich, schonmal gesehen. Den verstehe ich noch nicht. Außerdem wollte ich selbst einen finden. Den hab ich ja schon, nur dass ich das Pascalsche Dreieck brauche.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

nun ist doch die frage, was du da bewiesen haben möchtest verwirrt

weil zu beweisen, dass der Koeffizient eines Binoms n-ten grades nun "zufällig" an der k-ten Stelle genau n über k entspricht stelle ich mir recht umständlich vor, weil man ja im prinzip...moment....
Doch, sollte per vollständiger indunktion gehen: ich zeige es für n=2,3 und beweise dann für n+1. allerdings sehe ich ein problem: das ausklammern und die multiplikation allgemein zu machen und dann noch die gleichheit mit n+1 über k zu zeigen, also im prinzip auf Fakultäten zurückzuführen stell ich mir recht schwierig vor. unglücklich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das ist das Problem. Ich hab ja die Induktion auch erst vor zwei Tagen kennegelernt. traurig Und dann wird das doch ziemlich schwiereig.
Halt! Stopp! Ich sehe grad, dass Deakandy das schon in seinem Workshop "Vollständige Induktion" bewiesen hat, aber das sieht ziemlich kompliziert aus und ich versuche grad verzweifelt, das zu verstehen.
Auch in einem ABITUR WISSEN habe ich nen Beweis gefunden, den ich allerdings auch noch nicht verstehe, da da was mit Mengen und so gemacht wird.

traurig

edit:

@m00xi
Ich hab mir deinen Beweis nochmal angeguckt. Du meinst wahrscheinlich den, den du auch im Thema "Latex->PNG mit PHP (mimetex Ersatz?)" gegeben hast. Ich zitier ihn nochmal

Zitat:
Original von m00xi
Yeah, das ist spaßig!

http://217.160.92.215/~burn/math2png/math2png.php?f=f(x)%26=%26%20x^n\\f'(x)%26=%26\lim_{x\to%200}\frac{dy}{dx}\\%26=%26\lim_{x\to%200}\frac{f(x%2Bdx)-f(x)}{dx}\\%26=%26\lim_{x\to%200}\frac{(x%2Bdx)^n-x^n}{dx}\\%26=%26\lim_{x\to%200}\frac{\sum^{n}_{i=0}{{n\choose%20i}x^{n-i}dx^i}-x^n}{dx}\\%26=%26\lim_{x\to%200}\frac{\sum^{n}_{i=1}{{n\choose%20i}x^{n-i}dx^i}}{dx}\\%26=%26\lim_{x\to%200}\frac{dx\left(\sum^{n}_{i=1}{{n\choose%20i}x^{n-i}dx^{i-1}}\right)}{dx}\\%26=%26\lim_{x\to%200}\sum^{n}_{i=1}{{n\choose%20i}x^{n-i}dx^{i-1}}\\%26=%26\sum^{n}_{i=1}{{n\choose%20i}x^{n-i}0^{i-1}}\\%26=%26nx^{n-1}\\%26%26q.e.d


Mir is aufgefallen, dass das genau der gleiche ist. Ich kenn zwar das Summenzeichen und auch die Binomialkoeffizienten, aber mit solchen Schreibweisen bzw. "kompakten" Dingen habe ich mich noch nicht beschäftigt, deswegen is mir das nicht aufgefallen. Die Potenzregel hast du jetzt zwar genauso bewiesen wie ich, aber das ändert ja nichts an der Tatsache, dass ich (und du) den Binomischen Satz dafür brauche. Aber wie gesagt, da is ja im Workshop Induktion was. Ich hab auch schon im Fragethread dazu was gepostet. Mal sehen, was draus wird. :P
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

m00xi
kannst du auch beweisen das die potenzregel für alle reelle Zahlen gilt.

z.B. (x^0,7)`=(0,7x^-0,3)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis, den m00xi da aufgeschrieben hat, stimmt übrigens nicht!
Üblicherweise meint dy/dx einen Differentialquotienten (da ist der Limes sozusagen schon drin verpackt). Dann kann man da nicht noch einen Limes davor schreiben. Und was soll auch "x gegen 0" in diesem Zusammenhang? Und wenn man es ganz unkonventionell so auffaßt, daß man dx als reelle Größe nimmt, dann müßte es schon "dx gegen 0" heißen. Und auch sonst sind da noch ein paar Schlampereien drinnen.
Das Ganze sieht mir mehr nach Ingenieursmathematik aus. Dafür mag's ja angehen. "Wenn's nicht aufgeht, wird halt noch ein bißchen daran rumgefeilt."
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast Recht, das mit dem x gegen 0 hat mich auch irritiert, da es ja eigentlich das h und nicht das x ist und der Rest von dem, was du da aufgeschrieben hast, ist auch einleuchtend. Übrigens weiß man ja in der 11.ten noch nichts vom binomischen Satz. Rein theoretisch müsste er den auch beweisen, aber das hat er ja in nem anderen Thread schon gemacht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Den binomischen Satz braucht man auch gar nicht für die Umformung des Termes. Man muß sich nur klar machen, daß die folgende Formel gilt (und die kann man durch Ausmultiplizieren sofort bestätigen):



(War da nicht neulich irgendwo eine Diskussion über Polynomdivision und Horner-Schema?)

Und jetzt kann man für a den Term x+h substituieren und für b den Term x. Und für h gegen 0 streben alle Summanden der Klammer gegen x hoch n-1, und es sind n Stück.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Den binomischen Satz braucht man auch gar nicht für die Umformung des Termes. Man muß sich nur klar machen, daß die folgende Formel gilt (und die kann man durch Ausmultiplizieren sofort bestätigen):



(War da nicht neulich irgendwo eine Diskussion über Polynomdivision und Horner-Schema?)

Und jetzt kann man für a den Term x+h substituieren und für b den Term x. Und für h gegen 0 streben alle Summanden der Klammer gegen x hoch n-1, und es sind n Stück.


"Durch ausmultiplizieren" habe ich schon oft bei der Formel gehört, finde ich aber nicht so toll als Beweis, denn man muss ja erstmal darauf kommen, dass es das sein könnte.

Hornerdiskussion:
Meinst du das:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3726&sid=

??


edit: Warum strebt das in der Klammer gegen a^(n-1)???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du selber auf den binomischen Lehrsatz gekommen?

Im übrigen ist es klar, daß es solch eine Formel geben muß, denn das Polynom p(x)=x^n-a^n (a hier als Parameter aufgefaßt) hat die Nullstelle a. Nach einem bekannten Satz der Algebra kann dann aber der Linearfaktor x-a abgespalten werden. Man könnte also die von mir angegebene Formel ganz einfach mit Polynomdivision herleiten.

(Probier es erst einmal im Spezialfall n=3 oder n=4, dann siehst du, wie der allgemeine Fall läuft.)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mit Polynomdivision ging das auch sofort allgemein. Ich mach das mal gleich in der Form des Zählers des Differentialquotienten.




---------------------------------------------------



---------------------------------------------------
...
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---------------------------------------------------
...
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Ist das formell so richtig??

Warum das in der Klammer gegen nx^(n-1) strebt ist auch klar. Will jetzt aber wissen, ob das richtig ist: Für den Differentialquotienten gilt:






















Ungefähr so?? Ich finde, das sieht nicht schlecht aus.
Danke für die große Hilfe! :] :]

Allerdings kann ich nicht 100% begründen, warum das in der Klammer n Summanden sind. verwirrt

Zitat:
Original von Leopold

Bist du selber auf den binomischen Lehrsatz gekommen?


Wie meinst du das genau? Wie ich ihn entdeckt habe, oder wie ich die Idee dazu hatte, das mit dem nx^(n-1) so zu machen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

Allerdings kann ich nicht 100% begründen, warum das in der Klammer n Summanden sind. verwirrt

Zitat:
Original von Leopold

Bist du selber auf den binomischen Lehrsatz gekommen?


Wie meinst du das genau? Wie ich ihn entdeckt habe, oder wie ich die Idee dazu hatte, das mit dem nx^(n-1) so zu machen?


Hi Leopold, ich wollte einfach nochmal das "alte" Thema aufgreifen, da ja doch noch Fragen offen waren. Vielleicht willst du ja auch deine Frage, auf die ich eine Gegenfrage gestellt habe, beantwortet haben. Aber ich hab da ja auch noch ne Frage:

Warum sind das in der Klammer denn eigentlich genau n Summanden? Also warum entstehen bei folgender Polynomdivison n Summanden??:



Also ich hab da nen, wie ich finde, mageren Ansatz:
Wenn ich x^n durch x teile, entsteht x^(n-1). Beim multiplizieren von x^(n-1) mit dem Divisor fällt erstmal der erste Summand des Dividenden, den man ja geteilt hat, weg. Es entsteht ein neuer Summand x^(n-1)*a. Setze ich dieses Verfahren fort, komme ich irgendwann zu x^1*a^(n-1). Wenn ich das dividiere, entsteht a^(n-1) Beim Multiplizieren mit dem Divisor fällt wiederum x^1*a^(n-1) weg, und es fällt auch a^n weg. Da ist also der Rest 0 und die Polynomdivision ist beendet. Da von x^n bis x^1 alle x^k (k von 1 bis n) geteilt wurden, entstehen, n Summanden.
Ich finds halt zu wenig als Erklärung.
Vielleicht gehts auch irgendwie so, dass man sagt, dass ein Polynom (n-1)-ten Grades entsteht, was aber noch ein Absolutglied besitzt, aber so genau weiß ich da auch nich weiter.
Hast du vielleicht eine (ohne auf Polynomdivision einzugehen)??
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid für meinen Schreibfehler oben, ich meine natürlich dx gegen 0 und nicht x. Sonst sollte das aber so stimmen, denn schließlich meine ich hier mit nichts weiter als die Steigung der Verbindungslinie zwischen den Punkten (x|f(x)) und (x+dx|f(x+dy)). Somit sollte das schon in Ordnung gehen, sieht man von dem x -> dx fehler ab..
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

(a^n-b^n):(a-b)=... zeigt man sehr einfach mit vollständiger Induktion. Probier' das doch einfach mal, Mathespezialschüler.

@m00xi: Was ist 0^0?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, da komm ich grad nich weiter.

Behauptung:



Für n=2 gilt:



Induktionsschluss auf n+1:



Und jetzt komm ich nich weiter, ich seh grad keinen Ansatz, um die Induktionsvoraussetzung für a^n-b^n einsetzen zu können. verwirrt
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige lieber
...*(a-b)=a^n-b^n, das geht besser als mit den Brüchen.
Ich habe das vor einer ganzen Weile mal gemacht, wenn du willst, lade ich es kurz hoch. Die Form ist jedoch nicht so schön (um nicht zu sagen hässlich) und es erscheint mir aus heutiger Sicht auch etwas ungeschickt, bestimmt könnte man das besser machen.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es ungefragt jetzt einfach mal hochgeladen, da ich gleich offline gehe und den PC, wenn der Geist stärker ist als das Fleisch, auch heute nicht mehr anmachen werde (so eine Schullektüre liest sich leider nicht von selbst).
http://mitglied.lycos.de/movarian/bert.html
(Entschuldige die Form und die beschissenen Formulierungen; ich hoffe, es ist wenigstens formal korrekt, ich hatte jedenfalls gerade keinen Nerv, mich da nochmal durchzuquälen, um das zu überprüfen).
Du musst es ja nicht anschauen, wenn du es lieber erst noch selbst probieren möchtest.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal danke für den Tipp Philipp-ER!!! :] Habs auch noch selber hinbekommen, zwar mal wieder ohne Summenzeichen, aber egal. Ich hab mir dann auch deins nochmal angeguckt. Als du gesagt hast, "is ziemlich hässlich", hab ich gedacht, du hättest es mit Hand geschrieben und völlig geschmiert, aber das is das ja jetzt genau das Gegenteil. Augenzwinkern

Naja gut, auf jeden Fall danke!

@Leopold
Wär schön, wenn dich nochmal meldest, würde nämlich gern noch wissen, was du hiermit meintest:

Zitat:
Original von Leopold

Bist du selber auf den binomischen Lehrsatz gekommen?

Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Leopold
Den binomischen Satz braucht man auch gar nicht für die Umformung des Termes. Man muß sich nur klar machen, daß die folgende Formel gilt (und die kann man durch Ausmultiplizieren sofort bestätigen):



(War da nicht neulich irgendwo eine Diskussion über Polynomdivision und Horner-Schema?)

Und jetzt kann man für a den Term x+h substituieren und für b den Term x. Und für h gegen 0 streben alle Summanden der Klammer gegen x hoch n-1, und es sind n Stück.


"Durch ausmultiplizieren" habe ich schon oft bei der Formel gehört, finde ich aber nicht so toll als Beweis, denn man muss ja erstmal darauf kommen, dass es das sein könnte.

Hornerdiskussion:
Meinst du das:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3726&sid=

??


edit: Warum strebt das in der Klammer gegen a^(n-1)???


Und auf diese deine letzte Bemerkung hin habe ich die Frage gestellt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Leopold
Den binomischen Satz braucht man auch gar nicht für die Umformung des Termes. Man muß sich nur klar machen, daß die folgende Formel gilt (und die kann man durch Ausmultiplizieren sofort bestätigen):



(War da nicht neulich irgendwo eine Diskussion über Polynomdivision und Horner-Schema?)

Und jetzt kann man für a den Term x+h substituieren und für b den Term x. Und für h gegen 0 streben alle Summanden der Klammer gegen x hoch n-1, und es sind n Stück.


"Durch ausmultiplizieren" habe ich schon oft bei der Formel gehört, finde ich aber nicht so toll als Beweis, denn man muss ja erstmal darauf kommen, dass es das sein könnte.

Hornerdiskussion:
Meinst du das:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3726&sid=

??


edit: Warum strebt das in der Klammer gegen a^(n-1)???


Und auf diese deine letzte Bemerkung hin habe ich die Frage gestellt.


verwirrt Versteh ich jetz nich :P
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
denn man muss ja erstmal darauf kommen


Und? Bist du denn ganz von alleine auf den binomischen Lehrsatz gekommen?
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben ihm ihn doch erklärt, in irgendeinem anderen Thread!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, wißt ihr! Ihr könnt mich jetzt 'mal!

Seid froh, daß wir nur virtuell verbunden sind. Wenn ich jetzt MSS physisch vor mir hätte, würde ich ihm einen Boxer auf den Oberarm geben, daß er einen schönen blauen Flecken bekommt.
(Das ist zwar eigentlich verboten, hier aber pädagogische Notwehr.)
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn jetzt passiert?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts! Aber wenn jemand so begriffsstutzig ist ...
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mal aneinander vorbei redet, dann passiert das eben. Tut mir leid, dass dich das so aufregt. Ich denke, sonst sind MSS und ich ja nicht so schlimm. Also nichts für Ungut.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von m00xi
Wir haben ihm ihn doch erklärt, in irgendeinem anderen Thread!


@Leopold
Wenn irgendwie ein Problem herrscht bezüglich dem, dass es mir in nem anderen Thread erklärt wurde, dann Gott . Vielleicht auch ne kleine Erklärung dazu:
Da wurde ein Link zum binomischen Satz gegeben. Dann habe ich in einem Buch einen Beweis gefunden, den ich vorerst nich verstanden hatte, da habe ich nach einer Erklärung gefragt (nachdem ich diesen Thread hier aufgemacht habe. Auf den anderen Thread bin ich gekommen, weil m00xi einen Post am 2.6. geschrieben habe, diesen Thread habe ich am 1.6. eröffnet). Dann wurde der mir erklärt. Dann kamen wir zum Pascalschen Dreieck und irgendwie zu den Koeffizienten. Da habe ich dann den Beweis von Deakandy in seinem Workshop nich verstanden. Ich hab dann selber einen gepostet und naja. Und hier in diesem Thread sind wir ja doch eher in Richtung Differentialquotienten gedriftet. Jetzt kam aber doch wieder ne Frage zum Binomischen Satz und jetzt könnte natürlich der Eindruck entstehen, als wäre das irgendwie n Doppelpost. War aber nich so gedacht. Ich wollt einfach den Binomischen Satz und das hier beides Aufrecht erhalten.
Ich geb dir mal den Link, am besten du liest es dir mal selbst durch:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3820&sid=&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=1

Also nochmal, ich wollte hier keine Doppelpost veranstalten oder was auch immer, wenn dein Problem daran liegen sollte, dass mir der Satz schon erklärt wurde oder sowas. Gott

Mir fällt grad noch was ein. Ich hab bis jetz keine Ironie dahinter gesehen, aber vielleicht war es ja so gemeint: Du sagst, man muss nich erst darauf kommen bzw. es reicht, wenn man ausmultipliziert und so begründest es damit, dass ich ja auch nicht alleine auf den Binomischen Lehrsatz gekommen bin. Meinst du das so? Tut mir leid, wenn ich begriffsstutzig war, aber ich hab die Ironie nich erkannt. Gott Gott Gott

Für alle Missverständnisse möchte ich mich hiermit entschuldigen!! Gott
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

"Mir fällt grad noch was ein. Ich hab bis jetz keine Ironie dahinter gesehen, aber vielleicht war es ja so gemeint: Du sagst, man muss nich erst darauf kommen bzw. es reicht, wenn man ausmultipliziert und so begründest es damit, dass ich ja auch nicht alleine auf den Binomischen Lehrsatz gekommen bin. Meinst du das so? Tut mir leid, wenn ich begriffsstutzig war, aber ich hab die Ironie nich erkannt. "


So ist es. Ob Ironie jedoch das richtige Wort ist, sei mal dahingestellt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal nich, dass die Frage, ob ich allein auf den Satz gekommen bin, ernst gemeint war bzw. ich weiß es ja. Da sie aber nich ernst gemeint war, hörte sie sich für mich ironisch an. Hoffe, vertehst, was ich meine Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Also, da komm ich grad nich weiter.

Behauptung:



Für n=2 gilt:



Induktionsschluss auf n+1:



Und jetzt komm ich nich weiter, ich seh grad keinen Ansatz, um die Induktionsvoraussetzung für a^n-b^n einsetzen zu können. verwirrt


Hi nochmal, ich wollt mich nochmal melden, denn ich hab mich mal rangesetzt und versucht, das direkt zu beweisen, also als Quotienten und nicht als Produkt. Ich habs auch geschafft, deswegen möcht ich für alle Interessierten mal den Beweis posten. Er is zwar nich mit a und b als Variable, aber das is ja egal.
Hier der Beweis:

Beweis für folgende Formel:





Induktionsverankerung für n=1:



Induktionsschritt (auf (n+1)), zu beweisen ist:





Beweis:
































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