Primzahl

Neue Frage »

Trulla Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahl
Hallo,

kann mir jemand helfen, zu zeigen, dass diese Bedingung für Primzahlen gilt:

für alle m,n element aus den natürlichen Zahlen gilt: p=n*m impliziert (n=1 v m=1)

Ich finde einfach keine Ansatz und verzweifel schon.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ist das dein ernst? Das ist doch mehr als trivial.

Was wäre denn wenn sich eine Zahl p=n*m mit n und m ungleich 1 (und ungleich -1) schreiben ließe?
Trulla Auf diesen Beitrag antworten »

Das es wirklich gilt, ist mir schon bewusst. smile
Das Problem ist nur, es zu zeigen.

Ich versuche mich gerade dabei, es über Teilung mit Rest zu beweisen.

So gilt ja, dass ich bei Primzahlen immer eine Rest heausbekomme (was ja nur logisch ist Augenzwinkern )
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
viel zu umständlich:

Sei p eine Primzahl und p=n*m, mit n != 1 (oder -1).
Da p eine Primzahl ist, lässt es sich insbesondere nicht zerlegen, womit m=1 (oder -1) gelten muss. q.e.d.

Oder:
Sei p eine Zahl mit p=n*m und n != 1, m != 1. Damit hat p insbesondere die Teiler n und m, die keine Einheiten sind. Dies ist ein Widerspruch zur Definition einer Primzahl, die nur Einheiten und sich selber als Teiler hat. q.e.d
Trulla Auf diesen Beitrag antworten »

Damit zeige ich aber ja noch nicht, dass es nicht auch für andere Zahlen gelten könnte.
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
musst du auch nicht.

Du sollst ja nur zeigen: , wobei p prim ist.

Andere Zahlen interessieren dich nicht. Du musst nur Annehmen, du hast p=n*m mit p prim und dann folgern, dass n=1 oder m=1 gilt.

Oder durch Widerspruch: n != 1, m != 1 => p=n*m nicht prim.


Oder nach der allgemeinen Def. von Primelementen:
Sei p ein Primelement (der ganzen Zahlen), p=n*m
=> p|n*m => p|n oder p|m (Eigenschaft für Primelemente in Ringen).

Nimm ohne Einschränkung an, p|n => Es existiert ein k mit k*p = n
=> p = n*m = (k*p)*m = p*k*m

Also muss k*m=1 gelten. Da in den ganzen Zahlen nur 1 und -1 Einheiten sind, gilt k=m=1 oder k=m=-1. q.e.d.
 
 
Trulla Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das habe ich alles verstanden.

Aber gibt es denn eine Möglichkeit zu zeigen, dass eine Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn diese Bedingung gilt?
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
du meinst:



Jein. Nimmt man als Beispiel p=1, würde auch n=m=1 folgen.

Ansonten: P ist Primzahl => ... die Richtung hast du
p=nm => n=1 oder m=1 => p ist Primzahl musst du noch zeigen. Das sollte man aber leicht selber schaffen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 42
p=nm => n=1 oder m=1 => p ist Primzahl musst du noch zeigen. Das sollte man aber leicht selber schaffen.


Du hast doch gerade gezeigt, dass diese Implikation nicht gilt. verwirrt
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von 42
p=nm => n=1 oder m=1 => p ist Primzahl musst du noch zeigen. Das sollte man aber leicht selber schaffen.


Du hast doch gerade gezeigt, dass diese Implikation nicht gilt. verwirrt

naja ich dachte das sich jeder das selber vervollständigen kann:




Sofern man Primzahlen nur auf den natürlichen Zahlen zulässt.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »