Ungleichung mit 2 Beträgen

01.11.2008, 15:51

ichhabs

Ungleichung mit 2 Beträgen

Hallo!

Ich habe bei einer Hausaufgabe ein paar Problem und weiß leider nicht direkt weiter...

1. |x-4| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |3x+6|

ich habe nun 4 Fallunterscheidungen gemacht:

I. x-4<0 => x<4

II. x-4 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 => x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4

III. 3x+6<0 => x<-2

IV. 3x+6 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 => x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -2

zu I. x<4

x-4 < 3x+6
-10<2x |:2
-5<x => w.A.

zu II. selbe Rechnung, nur am Ende: f.A.

zu III. hier komme ich auf x<-5 => w.A.

zu IV. das gleiche: x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -5 => f.A.

Ist somit das Ergebnis für die Aufgabe L: $\begin{eqnarray*} \{-5;4\} \end{eqnarray*}$ ??

Bei zwei weiteren Aufgaben komme ich auch nicht klar:

|x²-3| / 2x+1 > -1

und

4|x|+|y-4| $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1

01.11.2008, 17:23

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RE: Ungleichung mit 2 Beträgen

Zitat:

Original von ichhabs
ich habe nun 4 Fallunterscheidungen gemacht:

Leider hast du daneben gegriffen. Du mußt schauen, wo die Nullstellen der Betragsterme sind. Das sind x=4 und x=-2. Daraus ergeben sich 3 Fälle:

1. x < -2
2. x >= -2 und x < 4
3. x >= 4

01.11.2008, 20:06

ichhabs

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ich verstehe das leider immer noch nicht ganz, wenn ich nun die nullstellen der terme weis, wie gehe ich nun voran? was mache ich nach der fallunterscheidung, so das ich die lösung für alle x herrausfinde?

sind deine fälle denn nicht meinen ähnlich?

01.11.2008, 20:18

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Für jeden Fall mußt du den Betrag auflösen. Wie das geht, solltest du hoffentlich wissen. Am besten fängst du einfach mal an.

01.11.2008, 21:58

ichhabs

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Zitat:

Original von ichhabs
Hallo!

I. x-4<0 => x<4

Also wenn ich dich richtig verstanden habe, setze ich anstatt meiner gedachten 0 die Ns 4 ein? und löse dann auf...

II. x-4>=4
x>=0

III. 3x+6<-2
x<-8/3

und als deinen 3. Fall setze ich was? beide irgendwie gleichzeitig..

ich hoffe, das ist richtig? traurig

wenn ja, wie muss ich fortfahren? verwirrt

02.11.2008, 10:49

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Mir scheint, du hast das immer noch nicht wirklich verstanden. Für jeden Fall mußt du schauen, was |x-4| bzw. |3x+6| ist. Als was ist im ersten Fall (das war x < -2) |x-4| und |3x+6| ? Wann kannst du die Betragsstriche einfach weglassen? Wann geht das nicht? Was ist dann zu tun?

21.12.2009, 16:05

cutcha

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Hi,

ich mache gerade Aufgaben des gleichen Typs und habe bisher die Fehler immer beim Nennen der Lösungsmenge gemacht (Ergebnis falsch interpretiert?).

Die Fälle hatte ich wie oben schonmal richtig heraus.

Habe diese Aufgabe nun mal als Übung gemacht:

für
$\begin{eqnarray*} x \leq -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x+4 x \leq -3x-6 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} x \leq -5 \end{eqnarray*}$

LL={-5}, da ja -5 bis -unendlich Lösung wäre

für
$\begin{eqnarray*} -2 < x \leq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x +4 \leq 3x +6 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} x \geq -0,5 \end{eqnarray*}$

LL={-0,5; 4}. Hier macht mich selber die 4 Stutzig. Laut Bedingung ist x ja kleiner 4. Ich könnte aber auch Zahlen größer 4 hier einsetzen und die Ungleichung würde stimmen :/

für
$\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-4 \leq 3x+6 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} x \geq -5 \end{eqnarray*}$
LL={-5}, da ja Gleichheit bei -5 erfüllt ist und ansonsten bei allen Zahlen größer

Für mich sieht es nun aus, das LL1 u LL2 u LL3 = IR ist. Hoffe ich habe alles verständlich aufgeschrieben.

21.12.2009, 18:57

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Zitat:

Original von cutcha
$\begin{eqnarray*} -x+4 x \leq -3x-6 \end{eqnarray*}$

Da hat sich ein x eingeschlichen.

Zitat:

Original von cutcha
LL={-5}, da ja -5 bis -unendlich Lösung wäre
...
LL={-0,5; 4}.

Deine Schreibweise für Lösungsmengen ist etwas daneben. Wenn x <= -5 sein darf, dann ist L = {x € R | x <= -5}.

Für -0,5 <= x <= 4 schreibt man: L = {x € R | -0,5 <= x <= 4}.

Zitat:

Original von cutcha
für
$\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-4 \leq 3x+6 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} x \geq -5 \end{eqnarray*}$
LL={-5}, da ja Gleichheit bei -5 erfüllt ist und ansonsten bei allen Zahlen größer

Da hast du übersehen, daß in dem Fall x >= 4 verlangt wurde.

21.12.2009, 19:44

cutcha

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Achso danke soweit schonmal. Also ganz genau hatte ich es so aufgeschrieben:

Fall 1:
$\begin{eqnarray*} x \in (-\infty,-2], d.h x\leq -2 \end{eqnarray*}$
und später LL=(-5]

wäre die Schreibweise auch korrekt? Vorsichtshalber nochmal deine Schreibweise:

Fall 1: LL= {x € R | x <= -5}

Fall 2: LL= {x € R | -0,5 <= x <= 4}

Fall 3: LL= {x € R | x >= 4}

Ich habe mir nun folgendes überlegt: LL= IR \ [-5, -0,5]

Meinen tue ich damit, dass ganz R Lösung ist, ohne die Zahlen größer als -5 und kleiner als -0,5.

Wäre die Schreibweise für die Lösung korrekt, ist die Lösung korrekt?

Ansatz mit deiner Schreibweise: LL={x € R | x <=-5 ^ x >= -0,5 }

22.12.2009, 08:35

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Zitat:

Original von cutcha
Ich habe mir nun folgendes überlegt: LL= IR \ [-5, -0,5]

Meinen tue ich damit, dass ganz R Lösung ist, ohne die Zahlen größer als -5 und kleiner als -0,5.

Dann mußt du ein offenes Intervall ausschließen: LL= IR \ (-5; -0,5)

Zitat:

Original von cutcha
Ansatz mit deiner Schreibweise: LL={x € R | x <=-5 ^ x >= -0,5 }

Richtig: LL={x € R | x <=-5 oder x >= -0,5 }

22.12.2009, 18:05

cutcha

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Nagut, ich hatte jetzt mit ^ wirklich "und" gemeint, aber verstehe das dies ja gleich ein Widerspruch wäre smile

Habe mir mal zu der Intervallschreibweise rausgesucht, jetzt verstehe ich auch was die eckigen und runden Klammern in der Ergebnisangabe bedeuten =)

Danke für deine Hilfe.

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