Beweis für Ungleichung

01.11.2008, 16:29	barthcar	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Ungleichung Hi Leute, hab eine Aufgabe die folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} 2^n<n! \end{eqnarray}$ Die Lösung ist natürlich $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ . Aber wie beweise ich dass? Bin erstmal so vorgegangen: $\begin{eqnarray} 2^n= \prod_{k=1}^N 2_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n!= \prod_{k=1}^N k \end{eqnarray}$ Wenn man dann in der Gleichung einfach durch $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ teilt ergibt sich: $\begin{eqnarray} 1<\frac{\prod_{k=1}^N k}{\prod_{k=1}^N 2_k} \end{eqnarray}$ Dann habe ich einfach dass ganze in ein Produkt umgewandelt: $\begin{eqnarray} 1<\prod_{k=1}^N \frac{k}{2_k} \end{eqnarray}$ Kann man das machen? Und wie ergibt sich dann daraus der Beweis? Kann man in dieser Ungleichung genauso vorgehen? $\begin{eqnarray} n^n>5n! \end{eqnarray}$ Vielen dank für eure Hilfe! Carlo
01.11.2008, 16:35	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze das Verfahren der vollständigen Induktion, kennst du das? Wenn nein, kannst du dir das hier vielleicht mal durchlesen: Wiki: Vollständige Induktion
01.11.2008, 17:41	barthcar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für Ungleichung Ja ich kenne das Verfahren der vollständigen Induktion. Bin aber nicht sehr sicher im Umgang mit diesem! mache ich das Verfahren dann für den letzten Term in meinem Thread? (also dem mit dem Produktzeichen?) Waren meine Umformungen richtig? Und was wäre ein möglicher Ansatz? Danke dir für deine Antwort! Carlo
01.11.2008, 17:52	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob man das so machen kann, bin sehr ungeübt mit dem Produktzeichen, das wird dir sicher jemand anders beantworten können. Die vollständige Induktion ist für solche Aufgaben das am Öftesten geeignete Mittel. Stelle doch mal die Ansätze für den Induktionsanfang, die Induktionsvoraussetzung und den Induktionsschluss auf. Nur einfach mal versuchen und bei Fragen posten, dann helfen wir dir
02.11.2008, 16:16	barthcar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für Ungleichung Ok also hab das mit der vollst. Induktion versucht aber komme nicht weiter: Der Induktionsanfang ist ja klar. In meiner Endformel: $\begin{eqnarray} 1<\prod_{k=1}^n~ \frac{k}{2_k} \end{eqnarray}$ habe ich also n=4 gesetzt und es kommt heraus: $\begin{eqnarray} 1<1,5 \end{eqnarray}$ wahre Aussage. Für den Induktionsschritt bin ich mir erstmal nicht im klaren ob das mit dem Produktzeichen überhaupt sinnvoll ist!? Vielleicht wäre der Ansatz leichter: $\begin{eqnarray} 2^{n+1}<\prod_{k=1}^{n+1}~k \end{eqnarray}$ Nur was wäre dann der nächste Schritt, hab wirklich keine Ahnung, das Produktzeichen irritiert mich! Bitte um Hilfe
03.11.2008, 16:25	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es dich irritiert, dann benutze es doch einfach nicht. Du musst es nicht so schreiben und ich halte es auch für umständlich. Formuliere einfach mal den Induktionsanfang, die Induktionvoraussetzung und den Induktionsschluss sinnvoll und ohne Produktzeichen. Und dann überlegen wir uns mal, wie man hier zu einem Beweis kommt.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »