Funktionen als Vektoren

01.11.2008, 18:27

anne123

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Funktionen als Vektoren

Hallo ich brauche dringend eure Hilfe bei ein paar Aufgaben. Ich weiß überhaupt nicht was ich da machen soll.
1) Gegeben seien zwei Funktionen f(x) und g(x), die das Intervall x=[-1,+1] stetig auf das Intervall (-unendlich, +unendlich) abbilden. Zeigen sie, dass solche Funktionen mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} f(x)*g(x)=\int_{-1}^{+1}dx f(x)g(x) \end{eqnarray*}$ einen euklidischen Vektorraum bilden.
Hinweis: Was sind die Axiome des Skalarprodukts?

Also ich weiß eigentlich gar nicht wonach gefragt wird. was bedeutet genau abbilden?

2) Lösen sie die Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{x} +\vec{a} =(\vec{x} \cdot \vec{c} )\cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf, ohne eine Komponentendarstellung zu benutzen. Unter welcher Bedingung ist die Lösung eindeutig?

3) Sei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein von 0 abgetragener Einheitsvektor. Welche geometrische Bedeutung kommt der Lösungsmenge { $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ } der Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{r}\cdot \vec{a}=const. \end{eqnarray*}$ zu?

Vielleicht weiß ja jemand was zu tun ist. Ich bin ziemlich überfordert. Bei Nr 3 hab ich gedacht, dass die Lösungsmenge vielleicht geometrisch die Gerade ist, die durch Verlängerung der Gegenkathete entsteht?

Also eure Hilfe wäre echt lieb.
Vielen Dank schonmal.
Liebe Grüße
Tina

01.11.2008, 19:44

tigerbine

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Erste Tipps
$\begin{eqnarray*} f:~[-1,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~[-1,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Beide Funktionen sind stetig. Dann könnte es ja auch mit den Integrieren klappen.

$\begin{eqnarray*} <f,g> ~:=~\int_{-1}^1f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Frage dich, ob ein Skalar Vielfaches von f auch wieder stetig auf [-1,1] ist und ob die Summe stetiger Funktionen wieder stetig ist. (http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaM...is/node137.html) Das solltest du noch deinem Skript entnehmen können. ebenso die Anforderungen an ein Skalarprodukt. (http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...eine_Definition)

Diese Eigenschaften musst du nun nachweisen.

02.11.2008, 10:02

anne123

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so ich versteh zwar nicht so wirklich was ich hier mache aber ich bin jetzt so vorgegangen:
zu1) Die 4 Axiome lauten:
a) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{b} =\vec{b} \vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)g(x)=\int_{-1}^{1}dx g(x)f(x) \end{eqnarray*}$
ist erfüllt.
b) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{a} \geq0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{a} =0 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} =0 \end{eqnarray*}$ ist auch erfüllt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)f(x)=\int_{-1}^{1}dx f^2(x)\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)f(x)=\int_{-1}^{1}dx f^2(x)=0 \end{eqnarray*}$ ,wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \vec{a} (p\vec{b})=p(\vec{a} \vec{b}) \end{eqnarray*}$ ist auch erfüllt: $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)(pg(x))=p\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x) \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \vec{b}(\vec{a}+\vec{a})=\vec{b}\vec{a} +\vec{b}\vec{a} \end{eqnarray*}$ ist erfüllt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)(g(x)+g(x))=\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x)+\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x) \end{eqnarray*}$

Kann ich das einfach so sagen das diese Axiome erfüllt sind? oder muss ich die auch noch beweisen? und was sagt mir das jetzt eigentlioch? also ich kann für diese funktionen ein Skalaprodukt definieren und deshalb bilden sie einen euklidischen Vektorraum?
Un einen Vektorraum der von Funktionen gebildet wird stell ich mir so vor wie von vektoren? also zum beispiel die Vektoren entlang der Koordinatenachsen bilden einen vektorraum, in dem alle reelllen zaheln vorkommen? ich versteh den zusammenhang zwischen vektoren und funktionen nicht so wirklich. und kann ich mir die funktionen so vorstellen, dass sie bei x=-1 im -unendlichen starten und dann eine Gerade bis x=1 im unendlichen bilden ?
Bei mir steht das diese vier Axiome das Skalarprodukt definieren und ein vektorraum mit einem skalarprodukt ein euklidischer vektorraum ist. was wäre denn ein vektorraum ohne skalarprodukt? heißt das er ist irgendwie anders geformt, weil man da kein skalarprodukt bilden kann?
Vielleicht ist ja jemand online der mir weiter helfen kann :-)
ich steh da wirklich ein bisschen auf dem schlauch, bzw. kenn mich mit diesen sachen einfach nicht aus.
Liebe grüße Wink

Wink

02.11.2008, 10:13

anne123

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Mit Aufgabe zwei bin ich jetzt soweit:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}+\vec{a}=(\vec{x} \vec{c}) \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(\vec{c}\vec{x})\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\vec{x}||\vec{c}|cos(\alpha)\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray*}$

und ich würde jetzt sagen, dass die lösung eindeutig ist, wenn die länge vom vektor x gegeben ist. ist das richtig? oder mach ich irgendws total falsch?

02.11.2008, 10:53

tigerbine

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Wir müssen uns die Funktionen nicht genauer vorstellen. wichtig ist nur, dass sie auf dem Intervall [-1,1] stetig sind. Ihre Wertemenge ist Teilmenge von IR, nicht umbedingt ganz IR. Bzgl. der Veknüpfung "Addition" und einer Skalarmultiplikation (IR) bilden diese Funktionen dann einen Vektorraum. (zu zeigen)

http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Definition

Prüfe also die Axiome nach. Der Nullvektor ist die Nullfunktion.Nun ist uns eine Definition gegeben. Wenn wir zeigen können, dass diese ein Skalarprodukt ist, dann handelt es sich um einen euklidischen Vektorraum. Die Vektorraumaxiome folgen noch direkt aus den Rechenregeln für Funktionen und führt hier auf die Rechenregeln der reellen Zahlen zurück (es werden ja Funktionswerte addiert, multipliziert). Daher kann man es im Grunde "einfach hinschreiben".

Bei dem Skalarprodukt solltest du es schon etwas genauer schreiben. http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)#Definition
Benutze z.B. die Linearität des Integrals. Ich mache es einmal vor.

$\begin{eqnarray*} \langle f+g,h\rangle&&=\int_{-1}^{1} (f(x)+g(x))h(x)~dx =\int_{-1}^{1} f(x)h(x)+g(x)h(x)~dx = \int_{-1}^{1} f(x)h(x)~dx+\int_{-1}^{1}g(x)h(x)~dx\\&& = \langle f,h\rangle + \langle g,h\rangle \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 12:05

anne123

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Es gilt:
f(x)+g(x)=(f+g)(x)
und
af(x)=(af)(x)
dIE fUNKTIONEN BILDEN EINEN vEKTORRAUM ÜBER EINEM kÖRPER k; DA SIE EINE ADDITIVE ABELSCHE GRUPPE bilden, auf der zusätzlich eine Multiplikation mit einem skalr aus k erklärt ist. was ist der körper k in diesem fall?

Nun soll gezeigt werden, dass es sich um ein euklidischen vektorraum handelt, indem gezeigt wird, dass ein skalarprodukt für den vektorraum definiert ist:
das 3. axiom hast du ja schon bewiesen.
das 1. axiom könnte ich nur so beweisen wir ich es bereits geschrieben habe, dass halt f(x)g(x) dasselbe ist wie g(x)f(x) aufgrund der Kommutativität.
bei den anderen beiden würde ich es eigentlich auch so hinschreiben wie ich es bereits gemacht habe, kann das irgendwie nicht auf andere eigenschaften vom integral übertragen. wie könnte ich das genauer schreiben bzw. beweisen mit dem integral?
insgesamt zeigt sich dann jedenfalls das ein skalarprodukt definiert ist und es sich somit um einen euklidischen vektorraum handelt.
das wäre somit die folgerung oder?

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02.11.2008, 12:19

tigerbine

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Zitat:

Original von anne123
Es gilt:
. was ist der körper k in diesem fall?

Das musst du in der Aufgabe nachschauen. Vermutlich die reellen Zahlen.

Zitat:

Nun soll gezeigt werden, dass es sich um ein euklidischen vektorraum handelt, indem gezeigt wird, dass ein skalarprodukt für den vektorraum definiert ist:
das 3. axiom hast du ja schon bewiesen.
das 1. axiom könnte ich nur so beweisen wir ich es bereits geschrieben habe, dass halt f(x)g(x) dasselbe ist wie g(x)f(x) aufgrund der Kommutativität.

Nein, nur einen Teil der Aufgabe habe ich gezeigt. Zu bilinear gehört noch mehr.

Jo.

Zitat:

bei den anderen beiden würde ich es eigentlich auch so hinschreiben wie ich es bereits gemacht habe, kann das irgendwie nicht auf andere eigenschaften vom integral übertragen. wie könnte ich das genauer schreiben bzw. beweisen mit dem integral?

einfach nur hinschreiben ohne Begründung ist sinnfrei. Dann steht da nur eine Behauptung. Gerade die Positivität sollte zumindest in einem Zeischenschritt begürndet werden.

02.11.2008, 14:52

anne123

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so ich weiß wirklich nicht witer:
du hast doch jetzt nicht die bilinearität nachgewiesen sondern die distributivität. ist die distributivität denn ausreichend bewiesen von dir oder muss ich da auch noch was ändern?
zur bilinerität:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)(pg(x))=p\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x)=\int_{-1}^{1}dx (pf(x))g(x) \end{eqnarray*}$
is das jetzt richtig?
zum betrag:
die positivität ergibt sich doch aus dem quadrat oder? aber das is doch dann durch das quadrat eigentlich schon klar, dass das ergbenis größer gleich 0 ist.
das mit der kommutativität stimmt so?
ich brauch wirklich ein paar tipps sonst komm ich hier nicht weiter. traurig

traurig

nochmal zum körper, die aufgabe steht da so wie ich sie geschrieben hab, is k dann vll - unendlich bis + unendlich oder -1 bis +1 ???

02.11.2008, 15:44

anne123

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Zitat:

Original von anne123
Mit Aufgabe zwei bin ich jetzt soweit:
$\begin{eqnarray*} \vec{x}+\vec{a}=(\vec{x} \vec{c}) \vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(\vec{c}\vec{x})\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\vec{x}||\vec{c}|cos(\alpha)\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray*}$

und ich würde jetzt sagen, dass die lösung eindeutig ist, wenn die länge vom vektor x gegeben ist. ist das richtig? oder mach ich irgendws total falsch?

02.11.2008, 16:39

tigerbine

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Zitat:

Original von anne123
du hast doch jetzt nicht die bilinearität nachgewiesen sondern die distributivität. ist die distributivität denn ausreichend bewiesen von dir oder muss ich da auch noch was ändern?

Lies doch die Definition, dann weißt du auch welchen Teil ich dir vorgerechnet habe. http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...eine_Definition

Zitat:

zur bilinerität:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f(x)(pg(x))=p\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x)=\int_{-1}^{1}dx (pf(x))g(x) \end{eqnarray*}$
is das jetzt richtig?

nein. Es gibt 3 Punkte zu prüfen, den ersten habe ich vorgerechnet und in dem Stil sollst du es auch aufschreiben. Was soll p sein?

Zitat:

zum betrag:
die positivität ergibt sich doch aus dem quadrat oder? aber das is doch dann durch das quadrat eigentlich schon klar, dass das ergbenis größer gleich 0 ist.

Dann formulier das so. Aber welcher Satz sicherst, dass das Integral einer Funktion, die auf dem Integrationsintervall nur positive Werte annimmt, auch positiv ist?

Zitat:

das mit der kommutativität stimmt so?

Wieder fehlt mir der Notationsschritt <,> Der entscheidene schritt ist sicherlich, dass die Funktionsmultikation hier kommutativ ist.

Zitat:

nochmal zum körper, die aufgabe steht da so wie ich sie geschrieben hab, is k dann vll - unendlich bis + unendlich oder -1 bis +1 ???

Nein, K sind (wohl) die Reellen Zahlen. Ein Intervall ist doch kein Körper. unglücklich

unglücklich

Wenn da nix steht, "beschwer" dich in deiner Übung darüber. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2008, 16:58

anne123

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ich hatte mich jetzt an die axiome gehalten, die mein Professor uns genannt hatte: Die 4 Axiome lauten:
a) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{b} =\vec{b} \vec{a} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{a} \geq0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{a} =0 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} =0 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \vec{a} (p\vec{b})=p(\vec{a} \vec{b}) \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \vec{b}(\vec{a}+\vec{a})=\vec{b}\vec{a} +\vec{b}\vec{a} \end{eqnarray*}$

und danach hättest du ja sozusagen d) nachgewiesen.

zu c:
p ist ein Skalar.

zub:
ich weiß nicht welchen satz du da meinst. wirklich nicht. hat das was mit der stammfunktion zu tun?

zu a:
<f(x),g(x)>=<g(x),f(x)> soll ich das noch dazu schreiben?

ich weiß nicht was mit einem körper gemeint ist, deshalb hatte ich gefragt aber dann sind es wohl die reellen zahlen.

02.11.2008, 17:07

tigerbine

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Ich meinte, du solltest mit <> starten, dann in Integral übersetzen, Regeln anwenden, anderes Integral erhalten zurück in <> übersetzen. so wie ich es gemacht habe. Oder anstatt <> deine Vektorenschreibweise.

zu b) Befrage dein Analysis Skript.

02.11.2008, 17:38

anne123

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so jetzt kommt mein letzer versuch:

a)
$\begin{eqnarray*} f(x)g(x)=\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x)=\int_{-1}^{1}dx g(x)f(x)=g(x)f(x) \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} f(x)f(x)= \int_{-1}^{1}dx f(x)f(x)=\int_{-1}^{1}dx f^2(x)\geq0 \end{eqnarray*}$
Monotonie: Da $\begin{eqnarray*} f^2(x)\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle x [-1,1] folgt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}dx f^2(x)\geq0 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(x)(pg(x))= \int_{-1}^{1}dx f(x)(pg(x))=p\int_{-1}^{1}dx f(x)g(x)= \int_{-1}^{1}dx g(x)(pf(x))=g(x)(pf(x)) \end{eqnarray*}$
p element der reellen zaheln

d) so wie du es geschrieben hast.

02.11.2008, 17:53

tigerbine

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a) ohne Vektoren oder <> fragt man sich als Leser schon, warum du danach Integrale schreibst.

b) schreibt ihr das dx immer vorne hin. verwirrt

verwirrt

ok... Monotonie verwirrt

verwirrt

Auf was bezogen...

c) Warum ziehst du p vor das Integral und dann wieder rein...

d) Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.11.2008, 18:14

anne123

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a) hab das so aus der aufgabenstellung ohne <> und ohne vektoren übernommen.
b) hab ich mich auch gefragt, steht aber in der aufgabenstellung mit dem dx auch so.
so wegen dem positiv, dann schreib ich das halt ohne monotonie davor.
c) naja um zu zeigen, dass ich p mit g(x) oder f(x) multipülizieren kann ich zeih es dannja in eine andere klammer.
d) :-)

02.11.2008, 18:22

tigerbine

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a) irgendein Zeichen brauchen wir aber, um das "produkt" vom "Skalarprodukt" zu unterscheiden. Wie du das machst, ist mir egal

b) na dann

lass dir in der übung erklären, auf welchen Satz ihr verweisen solltet.

c)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle \end{eqnarray*}$

Das sollst du zeigen, also musst du bei denen umformungen auch mal ohne integral schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2008, 11:32

tina123

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okay dann schreib ich das nochmal bei c) ohne das integral.
und bei b) weiß ich wirklich nciht worauf ich verweisen soll, wurde heute in den übungen auch nciht besprochen. kannst du mir da nciht helfen?
sonst kann ich den rest also so lassen?
kannst du mir noch bei den anderen aufgaben helfen, die bei meinem ersten eintrag stehen? oder jemand anderes?
liebe grüße
Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2008, 21:20

anne123

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RE: Funktionen als Vektoren
hey ich hab zwar schonmal die aufgaben gestellt aber noch keine wirkliche lödung finden könne, vll hat ja jemand noch ein paar tipps zu auf 2 oder 3??? kann ich dringend gebrauchen!

1) Gegeben seien zwei Funktionen f(x) und g(x), die das Intervall x=[-1,+1] stetig auf das Intervall (-unendlich, +unendlich) abbilden. Zeigen sie, dass solche Funktionen mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} f(x)*g(x)=\int_{-1}^{+1}dx f(x)g(x) \end{eqnarray*}$ einen euklidischen Vektorraum bilden.
Hinweis: Was sind die Axiome des Skalarprodukts?

Also ich weiß eigentlich gar nicht wonach gefragt wird. was bedeutet genau abbilden?

2) Lösen sie die Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{x} +\vec{a} =(\vec{x} \cdot \vec{c} )\cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf, ohne eine Komponentendarstellung zu benutzen. Unter welcher Bedingung ist die Lösung eindeutig?

3) Sei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein von 0 abgetragener Einheitsvektor. Welche geometrische Bedeutung kommt der Lösungsmenge { $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ } der Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{r}\cdot \vec{a}=const. \end{eqnarray*}$ zu?

Also eure Hilfe wäre echt lieb.
Vielen Dank schonmal.
Liebe Grüße
Tina

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