Quotientenvektorraum

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01.11.2008, 19:44	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenvektorraum Hallo miteinander! Ich habe folgende Aufgabe gegeben: "Geben Sie eine Basis vom Quotioentenvektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{4}/V \end{eqnarray}$ an, wobei V = span ((1,1,1,1), (1,2,3,4), (1,2,5,6)) . Ich wollte fragen, wie man am besten an diese Aufgabe geht. Mir macht der "span" ein wenig Mühe, denn für bspw. ein V = {(x1, x2, x3, x4) und dann eine Gleichung (Bsp. x1 + x2 = x3-x4 = 0)} konnte ich die Aufgabe lösen. Dankeschön!
01.11.2008, 21:02	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenvektorraum Habe hier zudem ein weiteres Problem: die Aufgabe ist diesselbe, nur ist folgendes gegeben: V = {(x1, x2, x3, x4) Element von R^{4} : x1 + x2 = x1 - x2 = x3 + x4 = x3 - x4} Hier habe ich die beiden Basen: { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } es fehlen also noch zwei Ergänzungsbasen - doch wie finde ich die heraus? Mit freundlichen Grüssen
02.11.2008, 15:19	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenvektorraum Hmm...dieses Thema gehört doch zur Algebra..? Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mich jemand auf die Sprünge helfen könnte Vielen Dank!
02.11.2008, 15:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn sonst keiner antworten will mach ich das halt Beim span musst du schauen ob die Vektoren linear unabhängig sind. Dann wählst du weitere zu diesen Vektoren unabhängigen Vektoren, so dass du am Ende 4 unabhängige Vektoren hast. Die neu hinzugekommenen bilden dann eine Basis des Quotientenraums. Beim zweiten Problem ist es leicht noch 2 linear unabhängige Vektoren dazuzufügen da ja die 2. und 4. Komponente bisher immer 0 ist. Also wähle einfach e_2 bzw. e_4, die Einheitsvektoren
02.11.2008, 16:16	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann ich bei der ersten Aufgabe nicht die Vektoren e_1, e_2, e_3, e_4 angeben, da diese alle linear unabhängig voneinander sind und auch von den spans... ansonsten hätte ich noch (4, 3, 2, 1) bei der zweiten Aufgabe: also (0, 1, 0, 0) und (0,0,0,1) ? Vielen Dank
02.11.2008, 16:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bei der zweiten Aufgabe passt es. Bei der ersten bekomme ich allerdings wenn man (4,3,2,1) hinzufügt die Determinante 0 raus. Also können die 4 Vektoren nicht l.u. sein
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02.11.2008, 16:30	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
super hmm aber mit den Einheitsvektoren (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) passt es, oder nicht? PS: für die Basis wären nur 2 Vektoren nötig, oder?
02.11.2008, 16:45	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, was hat die Einheitsbasis mit V zu tun? Du hast V = span ((1,1,1,1), (1,2,3,4), (1,2,5,6)). Jetzt schaust du erst einmal: Hat die Gleichung $\begin{eqnarray} x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nur die triviale Lösung x=y=z=0? Das ist der Fall(nachrechnen!), jetzt musst du die 3 Vektoren nur noch zu einer Basis ergänzen. Du musst also einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} \neq x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dass $\begin{eqnarray} \forall x,y,z\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dieser Vektor $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ bildet dann die Basis des Quotientenraums $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/V \end{eqnarray}$
02.11.2008, 16:58	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
wow vielen dank! also versteh ich das richtig, dass ich den vektor so zusammensetzen kann, wie ich will...also wäre zB (7,6,4,2) eine Lösung?
02.11.2008, 17:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja diesmal passt es. (7,6,4,2) oder besser gesagt: $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix} + V\} \end{eqnarray}$ bildet eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4/V \end{eqnarray}$
26.03.2010, 14:39	thaag	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, weiß vllt jemand ein Beweis warum die zusätzlichen linear unabhängigen Vektoren eine Basis für den Quotientenvektorraum bilden? Also die konkrete Aufgabe ist: Sei U Untervektorraum von V dim V = n Basis von U: $\begin{eqnarray} B_U = \{v_1, ..., v_m\} \end{eqnarray}$ Basis von V: $\begin{eqnarray} B_V = \{B_U, v_{m+1}, ..., v_n\} \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \{v_{m+1}, ..., v_n\} \end{eqnarray}$ ist eine Basis von V/U
26.03.2010, 14:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise für die Basis von V ist irreführend. Du darfst dort B_U nicht hineinschreiben sondern musst vereinigen. Der Beweis deiner Aussage geht direkt über die eindeutige Linearkombination mit Basisvektoren.

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