Obere Dreiecksmatrizen

01.11.2008, 23:01

Meret

Obere Dreiecksmatrizen

Hallo miteinander!

Auf was muss ich achten bzw. wie soll ich das anstellen, wenn ich zeigen will, dass die reellen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge gleich 1 sind, eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation bilden.

Vielen Dank für die Tipps! smile

01.11.2008, 23:37

tigerbine

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
1. Was sind die Eigenschaften einer Gruppe

2. Ist das Produkt dieser Dreiecksmatrizen wieder eine solche Dreiecksmatrix

01.11.2008, 23:50

Meret

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
Hallllooo...

Nun, Gruppeneigenschaften sind:
- Assoziativität
- Es gibt ein neutrales Element (e), für das gilt: a o e = e o a = a
- Es gibt ein inverses Element

Ja, das Produkt dieser Dreiecksmatrizen ist wieder eine solche - das war auch eine Aufgabe - den Beweis dafür habe ich gekonnt smile

01.11.2008, 23:59

tigerbine

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
Nun, a sollte man direkt aus den Rechenregeln für Matrizen folgern können.

b ist auch noch nicht wirklich spannend, oder?

bei c wird es interessanter. Ich werfe mal den Begriff Determinante in den Raum sowie reguläre Matrix. Was fällt dir dazu ein?

02.11.2008, 00:45

Meret

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
stimmt ja...meinst du, ich kann einfach schreiben, dass a) und b) offensichtlich sind?

zu c):
Da man die Determinante der oberen (unteren) Dreiecksmatrix A durch LaPlace Entwicklung
nach der 1. Spalte (n-ten Spalte) entwickeln kann, folgt wegen (-1)i+i=(-1)2i=1 dass det(A)=i=1naii gelten muss, da man ja immer wieder die Determinante einer oberen bzw unteren (n-i)x(n-i) Dreiecksmatrix berechnet mit i aus {0,1,2,...n-1}, denn durch n-malige La-Place Anwendung reduziert sich nach und nach die Gestalt der quadratischen Matrix bis zur Determinante einer 1x1 Matrix, welche identisch mit ihrem einzigen Eintrag ist.

=>

Ist somit eine obere (untere) Dreiecksmatrix A regulär, also invertierbar, folgt det(A) ungleich null, was nur dann zutrifft, wenn es kein aii in A mit aii=0 gibt.

<=

Andersrum folgt für aii ungleich null für alle i aus {1,2,...n} dass det(A) ungleich null, wodurch A regulär ist.

...ich hoffe, was ich geschrieben habe, stimmt mal...
geht es einfacher? ...das brauchte eine gute Stunde...=P
Vielen Dank smile

02.11.2008, 01:01

tigerbine

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
a) folgt ja aus den Regeln für Matrizenmultiplikation. Formal könnte erwartet werden, dass du die beiden Summenterme vergleichst, wenn ihr das noch nicht aufgeschrieben habt.

b) Gib halt E an. Augenzwinkern

c) die Determinante einen Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonal Einträge. Wenn ihr den Satz nicht hattet ist der Weg über Laplace gut. Wurde das sogar allgemein beweisen. Augenzwinkern

dann hast du gleich den ganzen Satz. aber damit ist dann hier klar, dass die Matrizen invertierbar sind.

Bleibt zu zeigen, dass die Inverse auch eine untere Dreiecksmatrix ist.

02.11.2008, 01:05

Meret

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
super smile

Vielen Dank!

Also bei der Aufgabe ist nur von den oberen Dreiecksmatrizen die Rede - von den unteren wird nichts erwähnt.

Frage: kann man von einer hier aufgelisteten Eigenschaft relativ schnell zeigen, dass die Gruppe kommutativ für n<=2 und nicht kommutativ für n>=3 ist?

Grazie mille smile

02.11.2008, 01:09

tigerbine

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
ok, dann obere. Augenzwinkern

macht aber für meinen Kommentar keinen Unterschied.

verwirrt

Frage verstehe ich nicht, da du eine neue Eigenschaft wiederlegen willst. Also gib ein Gegenbeispiel an. Augenzwinkern

02.11.2008, 01:44

Meret

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
achso, ich verstehe...
eyey...=)

hmm..das überfordert mich ein wenig..bleibt zu zeigen, dass die Inverse auch eine obere Dreiecksmatrix ist...kann ich das nicht einfach annehmen, da dies in der Aufgabenstellung gesagt wird, dass es sich um obere Dreiecksmatrizen handelt?

hmm ja schon, aber angeblich muss es so sein, dass die Gruppe kommutativ für n<=2 und nicht kommutativ für n>=3 ist...

Herzlichen Dank und gute Nacht! smile

02.11.2008, 01:54

tigerbine

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
Nein, du musst schon zeigen, dass die inverse eine obere Dreiecksmatrix ist. Hier mal für untere. pass es dir halt an.

Zitat:

Beweis 2:

Setze $\begin{eqnarray*} X:=L^{-1} \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} LX=I \end{eqnarray*}$ und Spaltenweise genommen $\begin{eqnarray*} Lx_i = e_i, ~\forall i=1,...n \end{eqnarray*}$ .

Nun schreibt man die Matrizen als Blockmatrizen, derart:

$\begin{eqnarray*} L =\begin{pmatrix} L_{11}^{i} &0 \\ L_{21}^{i}& L_{22}^{i} \end{pmatrix},~x_i = \begin{pmatrix} x_{1}^{i} \\ x_{2}^{i} \end{pmatrix},~e_i= \begin{pmatrix} 0 \\ e_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} L_{11}^{(i)} \in \mathbb R^{(i-1) \times (i-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{21}^{(i)} \in \mathbb R^{n-(i-1) \times (i-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{22}^{(i)} \in \mathbb R^{n-(i-1) \times n-(i-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1^{(i)} \in\mathbb R^{(i-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2^{(i)} \in\mathbb R^{n-(i-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_1 \in\mathbb R^{n-(i-1)} \end{eqnarray*}$

so kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} L_{11}^{i} &0 \\ L_{21}^{i}& L_{22}^{i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}^{i} \\ x_{2}^{i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ e_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hieraus folgt:

$\begin{eqnarray*} L_{11}^{i}x_1^{i} = 0 \Rightarrow x_1^{i} = 0 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Inverse Matrix eine untere Dreiecksmatrix. Ist L normiert, so folgt

$\begin{eqnarray*} L_{22}^{(i)}x_2^{(i)} = e_1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} L_{22}^{(i)} \end{eqnarray*}$ eine normierte untere Dreiecksmatrix ist, folgt, dass das i-te Element des Spaltenvektors $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eine Eins sein muss. Da dies für alle i=1,...,n gilt, ist Die Inverse ebenfalls normiert.

Zu dem anderen. wie gesagt, will man etwas widerlegen, so greift man gerne zum Gegenbeispiel. Augenzwinkern

02.11.2008, 02:30

Meret

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
Wow vielen Dank!
jeps, werd ich machen smile

also du meinst ein widerspruchsbeweis?
kommutativ für n>= 2 und nicht kommutativ für n<=3 ? =)

02.11.2008, 02:46

tigerbine

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
ich meine, 1x1, 2x2 ist doch seh überschaubar allgemein zu formulieren. Die Generelle aussage widerlegst du durch ein Gegenbeispiel im 3x3 Fall.

02.11.2008, 15:11

Meret

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RE: Obere Dreiecksmatrizen
Okey, also wenn ich zB eine 1x1 Matrix habe, dann mach ich das so:

$\begin{eqnarray*} (a_{11}) * \lambda = \lambda * (a_{11}) \end{eqnarray*}$
(richtig so?)

bei einer 2x2 Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{pmatrix} * \lambda = \begin{pmatrix} \lambda * a_{11} & \lambda * a_{12} \\ 0 & \lambda * a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hmm..da mach ich etwas falsch, nicht wahr? =S

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