Beweis e^x ' = e^x

12.08.2006, 22:40

Crotaphytus

Beweis e^x ' = e^x

Auch wenn ich mich damit jetzt tierisch blamiere, aber... Kennt irgendjemand nen wirklich schönen, eleganten Beweis dafür?

Der einzige, der mir jetzt einfällt, geht über die Ableitung vom ln. Bei dem kann man den Differenzenquotient schön ausrechnen und dann halt über die Ableitung der Umkehrfunktion. Find ich persönlich aber nicht so toll, und drum bin ich auf der Suche nach was eleganterem. Gibts so was?

(Und nein, ich will keine Antwort hören a la "Wir führen die e-Funktion ein als eine Funktion, die abgeleitet sich selbst ergibt...")

12.08.2006, 22:42

JochenX

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Wie habt ihr sie denn eingeführt?
Wenn du die Reihendarstellung kennst, dann ist es ein leichtes.

13.08.2006, 00:38

akechi90

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Die eleganteste Version ist tatsächlich, dass du davon ausgehst, dass folgende Gleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$
Das kannst du dir dann über den Differenzquotienten leicht selbst herleiten und hast damit auch den Beweis, dass die e-Funktion die einzige Exponentialfunktion ist, die gleich ihrer Ableitung ist. Leider gehts nicht anders.

Man muss halt ein bissel rumrechnen, kann dann aber alles auf die einfache Darstellung $\begin{eqnarray*} e= \lim_{n \to \infty} ( \frac{n+1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ zurückführen.

13.08.2006, 08:25

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Da gab es auch hier im Board viele Themen darüber, z.B hier:

Erläuterung zur Ableitung von e^x

13.08.2006, 12:21

Lazarus

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Hier und hier (+ folgender Post) sind drei verschiedene Möglichkeiten die Ableitung der e-Funktion zu bestimmen.

Ist halt Geschmackssache, welche genau einem besser gefällt oder leichter von der Hand geht.

servus

13.08.2006, 14:09

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Lazarus
Hier und hier (+ folgender Post) sind drei verschiedene Möglichkeiten die Ableitung der e-Funktion zu bestimmen.

Ist halt Geschmackssache, welche genau einem besser gefällt oder leichter von der Hand geht.

Ich möchte nochmal darauf hinweisen, dass es bei der Wahl des Weges, wie man dies zeigt, darauf ankommt, wie man die e-Funktion definiert hat. Wenn Crotaphytus also schon eine bestimmte Definition vorliegen hat, ist er nicht mehr ganz so frei in seiner Wahl.

Gruß vom Ben

13.08.2006, 15:45

Lazarus

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Stimmt, darum stehen im verlinkten Thread auch mehrere Möglichkeiten.
1) die Definition über die Reihe mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=\sum_{k\in\mathbb N}~\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

2) über den Folgenlimes $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=\lim_{n\to \infty}~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

3) Über den Logarithmus: $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{x}~\frac{dt}{t}\stackrel{!}{=}1\;\Rightarrow \;x=:\operatorname{e} \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach sind das die gängigsten Definition, und alle für alle drei findet man in den Links jeweils den Beweis.

Eine andere Möglichkeit der Definition die dieses Problem bewusst umgeht, schliesst Crotaphytus ja explizit aus:

Zitat:

Orginal von Crotaphytus:
[...](Und nein, ich will keine Antwort hören a la "Wir führen die e-Funktion ein als eine Funktion, die abgeleitet sich selbst ergibt...")

Der Vollständigkeit halber will ich allerdings diese mögliche Definition noch nennen.

$\begin{eqnarray*} \exp\left(x\right) \end{eqnarray*}$ wird definiert als die Lösung folgender Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&f(x)\\f(0)&=&1 \end{eqnarray*}$
e wird dann definiert mit:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}:=f(1) \end{eqnarray*}$

13.08.2006, 21:29

Crotaphytus

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@LOED: Hm... Warum sollte das mit der Reihendarstellung so einfach gehen? Ich hab also

$\begin{eqnarray*} (e(x))' = \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)' \end{eqnarray*}$

Das ich hier weiterrechnen und gliedweise differenzieren dürfte, müsste ich erst mal voraussetzen, dass die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert. Und dann käme ich auf

$\begin{eqnarray*} (e(x))' = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x^n}{n!}\right)' = \sum_{n=0}^\infty\frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Das entspricht meiner Interpretation nach aber nicht e(x), sondern e(x) - 1. Das heißt, entweder hab ich ne falsche Vorstellung von Reihen und bin nicht in der Lage mit diesen zu rechnen, oder da kann was nicht passen...

Wo ist mein Denkfehler?

13.08.2006, 21:54

JochenX

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der Denkfehler ist schnell gefunden:
das vorerst konstante Glied (vorher n=0) ist weggefallen beim differenzieren, also darf deine zweite Summe nur noch ab n=1 loslaufen
Dein Indexshift geht dann auch noch mal in die Hose. Deine dritte Summe z.B. fängt mit $\begin{eqnarray*} x^{-1}/... \end{eqnarray*}$ an, die rechte plötzlich mit $\begin{eqnarray*} x^{+1}/... \end{eqnarray*}$ .
In die falsche Richtung geshifted? smile

14.08.2006, 23:54

Crotaphytus

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Kopf -> Wand

Danke... Das sin die typischen Sachen, man sitzt davor und kommt einfach nicht drauf, was da schief läuft...

Dann muss ich allerdings immer noch zeigen, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert. Gibts da auch irgend n schönes Kriterium für, auf dass ich grad nicht komm, oder ist das tatsächlich nicht ganz so einfach?

15.08.2006, 09:43

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auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert die Exponentialreihe nicht gleichmäßig. Da der Konvergenzradius der Exponentialreihe aber unendlich ist, konvergiert die Reihe auf jedem beliebigen abgeschlossenen Intervall gleichmäßig. Den Beweis dazu findest du in jedem Buch und in jedem Skript

16.08.2006, 01:38

Crotaphytus

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Danke, is mir heut auch aufgefallen... Irgendwie is man hin und wieder schon vernagelt... Und dabei is die Rechnung ja schon in zwei Schritten erledigt... Nene, sowas...

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