Eigenvektoren symmetrischer Matrizen

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stef123 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren symmetrischer Matrizen
Hallo,
in Lineare Algebra habe ich mal gelernt, dass die Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten orthogonal aufeinander stehen (bei symmetrischen Matrizen) . Bei gleichen Eigenwerten muss das nicht unbedingt der Fall sein.

Jetzt habe ich aber im Numerikbuch von Schwartz den unten angehangen Satz gefunden. Gemäß dem Satz stehen ja die Eigenvektoren immer senkrecht aufeinander - egal ob gleiche oder verschiedene Eigenwerte. Oder habe ich etwas in dem Satz überlesen?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

vllt. hattet ihr in LA einen Ring zugrunde gelegt und Schwartz bewegt sich in einem Körper...
weiß aber nicht, ob das einen unterschied macht...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gemäß dem Satz stehen ja die Eigenvektoren immer senkrecht aufeinander

Nimm einfach mal einen mindestens zweidimensionalen Eigenraum (gibt's!).
Aus Anschauungsgründen nehmen wir einen Unterraum des Anschauungsraumes IR^n.
Und jetzt sag mal selbst, ob in diesem Eigenraum wirklich JEDER Vektor senkrecht zu JEDEM anderen steht. Nö.
stef123 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo Loed,

weiß zwar jetzt nicht auf was du hinauswillst. Aber vielleicht habe ich mich nicht exakt ausgedrückt.

Mir geht es nur um SYMMETRISCHE Matrizen und den Fall, dass es eine symmetrische Matrix 2 gleiche Eigenwerte hat. Also algebraische Vielfachheit >=2 bei mindestens einem Eigenwert . Die geometrische Vielfachheit ist ja für jeden Eigenwert bei einer symmetrischen Matrix gleich der algebraischen Vielfachheit.
Gemäß dem Satz in dem Buch von Schwartz (so wie ich ihn verstanden habe), stehen die Eigenvektoren von Eigenwerten auch bei einer algebraischen Vielfachheit >=2 IMMER senkrecht aufeinander. Das ist aber nicht immer so.

Ich habe bestimmt einen Denkfehler, aber nur finde ich ihn nicht. Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Sie hat nicht 2 gleiche Eigenwerte, sondern einen Eigenwert mehrfach Augenzwinkern

was du betrachtest ist, dass (wann?) EigenRÄUME senkrecht aufeinander stehen. Fragst du, wann das gilt?
Wenn du die Eigenvektoren eines Eigenraumes einzeln betrachtest, dann ist die Aussage falsch, siehe oben,







edit: das mit den senkrechten EigenRÄUMEN im Allgemeinen stimmt imho NICHT
stef123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
Sie hat nicht 2 gleiche Eigenwerte, sondern einen Eigenwert mehrfach Augenzwinkern


sorry, das meinte ich Augenzwinkern

Die Eigenräume stehen immer orthogonal aufeinander, das ist mir klar.

Aber in dem Satz steht ja, dass die EigenVEKTOREN senkrecht aufeinander stehen und das ohne Einschränkung. Oder ist das in der Numerik irrelevant?
Blöd, dass kein Beweis zu dem Satz im Buch steht.
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Eigenräume stehen immer orthogonal aufeinander, das ist mir klar.

Das ist aber imho falsch, ich habe mein Skript leider nicht da, aber wenn ich meinen google-Ergebnissen trauen darf, dann stehen die genau dann senkrecht aufeinander, wenn A normal ist .
Da lehne ich mich aber lieber nicht sehr weit aus dem Fenster.


Für den Fall, dass bei einer Matrix A die Eigenräume senkrecht aufeinander stehen, stehen Eigenvektoren aus verschiedenen Eigenräumen natürlich senkrecht. Klar, oder?
Für zwei aus dem gleichen Eigenraum muss das aber nicht gelten - nimm eine Matrix, die als Eigenraum genau die x1-x2-Ebene als Unterraum des IR^n hat.
Dann finde ich da massenhaft Paare von nichtsenkrechten Vektoren, ich finde aber auch Paare von senkrechten Vektoren, aber .....
stef123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist aber imho falsch, ich habe mein Skript leider nicht da, aber wenn ich meinen google-Ergebnissen trauen darf, dann stehen die genau dann senkrecht aufeinander, wenn A normal ist .


Also Loed, es ist doch offensichtlich: Ist symmetrisch (also ), dann ist . Augenzwinkern

.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Und innerhalb eines Eigenraumes ist es vermutlich so gemeint, dass man immer senkrechte findet, die den Raum aufspannen. Man findet ja sogar zu jedem beliebigen Vektor des Eigenraumes eines orthogonale Basis des Eigenraumes. Edit:, die diesen Vektor enthält, natürlich.
Vermutlich ist in dem Satz gemeint, dass die EVen, die zu einem EW gehören, gerade so gewählt sind verwirrt
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stef123
Also Loed, es ist doch offensichtlich: Ist symmetrisch (also ), dann ist . Augenzwinkern

UND?
deswegen gilt noch lange nicht die Umkehrung und meine Aussage (die ich selbst ergoogelt habe) war, dass immer wenn das rechte gilt, das mit den Eogenräumen gilt.
Also im Spezialfall (!!!!) z.B. für symmetrische Matrizen.
Trotzdem nicht für alle.

Also vielleicht ist das offensichtlich was du sagst (mir auch smile ), aber offensichtlich hast du mein Quintessenz von oben nicht verstanden.

Noch mal meinen Beitrag lesen, aufauf. smile
stef123 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Quintessenz für mich, dass das Buch an der Stelle vermutlich falsch ist, wenn ich nicht irgendeine Vorraussetzung 50 Seiten vorher überlesen habe.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stef123
Die Quintessenz für mich, dass das Buch an der Stelle vermutlich falsch ist, wenn ich nicht irgendeine Vorraussetzung 50 Seiten vorher überlesen habe.

Hast du das ganze übrigens mal selbst nachgerechnet?
Matrizengeschichten, die nicht stimmen, lassen sich oft in wenigen Augenblicken nachrechnen.

Ich werfe mal in den Ring.
Wenn du dich fragst, wo die herkommt: die habe ich mir gerade aus den Fingern gesogen und in einer Minute berechnet, dass ich mich oben NICHT zu weit aus dem Fenster gelehnt habe.
Die Eigenräume stehen [ ] nicht / [ ] hier aufeinander.
Bitte nachrechnen und treffendes ankreuzen.

Soviel Arbeit kann man sich selbst zumuten. smile
stef123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir auch egal, ob die Senkrecht aufeinander stehen, weil nicht symmetrisch ist. Nach dem Satz sind nur SYMMETRISCHE Matrizen interessant. Also solche Matrizen, die gleich ihrer Transponierten sind. Die symmetrischen Matrizen, also Augenzwinkern

Sorry, aber habe das Gefühl, dass wir die ganze Zeit aneinander vorbeireden Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stef123
Sorry, aber habe das Gefühl, dass wir die ganze Zeit aneinander vorbeireden Augenzwinkern

ja klipp und klar aneinandervorbeigeredet smile

Ich hänge die ganze Zeit daran, dass die Aussage nicht für alle Matrizen zutrifft, sondern nur für Normale.
Zitat:
Gemäß dem Satz stehen ja die Eigenvektoren immer senkrecht aufeinander - egal ob gleiche oder verschiedene Eigenwerte.

ich habe depperter Weise den roten Teil aufgefasst als "immer immer immer (egal wie die Matrix aussieht!!)". Da lag der Verständnisfehler.

Dann hat mein allererster Post oben aber tatsächlich "alles alles alles" gesagt und jedwede Weisheit nach diesem Post war für die Katz.
Später habe ich dann sogar noch ein Beispiel nachgereicht für diesen zweiten Post.

Dein Antwortpost
Zitat:
weiß zwar jetzt nicht auf was du hinauswillst.

hat mich dann noch mehr verwirrt. Augenzwinkern





So. Gesse isses.
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