Ableitungen

02.11.2008, 13:46

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitungen

Ich muss auf morgen 4 Ableitungsaufgaben lösen und bin mir bei denen überhaupt nicht sicher:

1. $\begin{eqnarray*} f(x)=(x^4+3)^{-1/3} \cdot e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(x)= sin(2x)/2x-e^{3x} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} f(x)= ln(1/(1+x^{2})) \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} f(x)= 5^{3x} \end{eqnarray*}$

Zu 1: $\begin{eqnarray*} f`(x)=-1/3(x^{4}+3)^{-4/3}*4x^{3}*e^{Wurzel(x)}+(x^{4}+3)^{(-1/3)}*1/2(x^{-1/2}) \end{eqnarray*}$

Zu 2: Wie leitet man einen solchen Bruch ab? Hinten steht -3x*e^(3x-1)

Zu 3: Wie leitet man den ln ab?

Zu 4: 3x*5^(3x-1)

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^4+3)^{-1/3} \cdot e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 13:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen

Zitat:

Original von Starup
1. f(x)= (x^4+3)^(-1/3)*e^Wurzel(x) , x>0

Das mit Latex: $\begin{eqnarray*} f(x)=(x^4+3)^{-1/3} \cdot e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 13:57

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Klarsoweit: Genau. Habs auch mit dem Latex versucht, aber garnicht geschafft. Jetzt bin ich fertig mit dem abtippen der Aufgabe (zum zweiten Mal) .. Und die Lösungsversuche stehen auch oben. Stimmt 1 und 4? Die anderen beiden hab ich nicht so verstanden... kann mir da jemand Tipps geben?

Zu f1(x) da hat mir jemand folgende Lösung gegeben:
-1/3(x^4 +3)^(-4/3) * 4x^3 * e^Wurzel x + (x^4+3)^(-1/3) * e^Wurzel x * 1/2x^(-1/2)

Verstehe da nicht warum die ableitung von e^Wurzel(x) ist: e^Wurzel(x)*1/2x^(-1/2)

02.11.2008, 14:28

rawsoulstar

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Aufgabe 4: Anwendung der Potenzgesetze und Trennen des konstanten Glieds in der Potenz:
$\begin{eqnarray*} f_4'(x)=3\cdot\log_55^{3\cdot x} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 14:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du bei meinem Beitrag auf Zitat klickst, bekommst du den Latexcode.

Lösung zu 1 kann ich nicht entziffern.
Lösung 4 ist falsch. Bei Exponentialfunktionen gilt nicht die Ableitungsregel für Potenzfunktionen. Schreibe das um als e-Funktion mittels $\begin{eqnarray*} 5 = e^{ln(5)} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 14:56

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Aufgaben und meine Lösung zu Aufg. 1 jetzt oben im Latex gepostet, ist also gut lesbar nun =)

Bei Aufgabe 4 komme ich noch nicht ganz draus, komme auf: 5^(3x)*ln(5) ..?

Anzeige

02.11.2008, 15:00

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen

Zitat:

Original von Starup
Zu 3: Wie leitet man den ln ab?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Und dann eben die Kettenregel anwenden.

Brüche schreibt man übrigens mit \frac{Zähler}{Nenner} und Wurzeln mit \sqrt{}.

02.11.2008, 15:18

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 3.: Demfall:

$\begin{eqnarray*} f`(x)= \frac{1}{\frac{1}{1+x^{2} }} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f`(x)=\frac{1+x^{2}}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f`(x) \end{eqnarray*}$ heisst F Strich von X =)

Stimmt Aufgabe 1 wie im ersten Beitrag gelöst?

02.11.2008, 15:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Starup
Habe die Aufgaben und meine Lösung zu Aufg. 1 jetzt oben im Latex gepostet, ist also gut lesbar nun =)

Ist leider falsch. Problem ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

Wurzel macht man mit \sqrt{...}, Brüche mit \frac{...}{...} .

Zitat:

Original von Starup
Bei Aufgabe 4 komme ich noch nicht ganz draus, komme auf: 5^(3x)*ln(5) ..?

$\begin{eqnarray*} f(x)=5^{3x} = (e^{ln(5)})^{3x} = e^{ln(5) \cdot 3x} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 16:20

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zu 1:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^4+3)^{-1/3} \cdot e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f`(x)=-1/3(x^{4}+3)^{-4/3}*4x^{3}*e^{Wurzel(x)}+(x^{4}+3)^{(-1/3)}*Ableitung von e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ ableiten:
= $\begin{eqnarray*} (1/2)e^{-(1/2)} \end{eqnarray*}$

Zu 2: Da hab ich immernoch garnichts:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{sin(2x)}{2x}-e^{3x} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 16:25

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist sicher nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Halte dich doch einfach an die Regeln.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 16:31

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ ist dann demfall $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}}*e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} e^{1/2} \end{eqnarray*}$ .. dann muss die Ableitung doch einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ sein.. oder verwechsle ich da was?

Edit: Ich checks glaub: $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ abgeleitet gibt:

$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ (äussere Ableitung) * $\begin{eqnarray*} (1/2)x^{-(1/2)} \end{eqnarray*}$

1. wäre dann
$\begin{eqnarray*} f`(x)=-1/3(x^{4}+3)^{-4/3}*4x^{3}*e^{\sqrt{x}}+(x^{4}+3)^{(-1/3)}*e^{\sqrt{x}}*(1/2)x^{-(1/2)} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 17:02

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Starup
$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} e^{1/2} \end{eqnarray*}$

Wenn dann:
$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} = e^{x^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Starup
1. wäre dann
$\begin{eqnarray*} f`(x)=-1/3(x^{4}+3)^{-4/3}*4x^{3}*e^{\sqrt{x}}+(x^{4}+3)^{(-1/3)}*e^{\sqrt{x}}*(1/2)x^{-(1/2)} \end{eqnarray*}$

Mach bitte den Strich für die Ableitung mit ' Das Symbol findest du auf der Raute Taste.

Sonst ist das jetzt richtig, ich würde das aber noch ein wenig umschreiben und schaun ob man da noch was vereinfachen kann.

02.11.2008, 17:21

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, wie würdest du s denn schreiben? $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ausklammern lohnt sich kaum.

Super, dann bin ich ja mit Aufgabe 1 wenigstens fertig geworden =)

Zu 2:
$\begin{eqnarray*} f(x)= sin(2x)/2x-e^{3x} \end{eqnarray*}$

Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} f`(x)=\frac{cos(2x)*2x-sin(2x)*2}{4x^{2}}-e^{3x}*3 \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 17:29

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du $\begin{eqnarray*} \sin(2x) \end{eqnarray*}$ ableitest, brauchst du die Kettenregel.

Vereinfachen ist das nicht unbedingt, aber es sieht schöner aus:

$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(x^4+3)^{\frac{4}{3}}} \cdot 4x^3 \cdot e^{\sqrt{x}} + \frac{1}{(x^4+3)^{\frac{1}{3}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =-\frac{4x^3}{3(x^4+3)^{\frac{4}{3}}} \cdot e^{\sqrt{x}} + \frac{1}{2(x^4+3)^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}} \\ \\ &=& e^{\sqrt{x}} \cdot \left(-\frac{4x^3}{3(x^4+3)^{\frac{4}{3}}}+\frac{1}{2(x^4+3)^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{x}}\right) \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 17:36

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja stimmt:

$\begin{eqnarray*} f`(x)=\frac{cos(2x)*2-sin(2x)*2}{4x^{2}}-e^{3x}*3 \end{eqnarray*}$ und das gibt dann

$\begin{eqnarray*} f`(x)=\frac{cos(2x)-sin(2x)}{2x^{2}}-e^{3x}*3 \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 17:37

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

02.11.2008, 17:50

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Jemand hat mir aber gesagt Aufgabe 2 gäbe: $\begin{eqnarray*} -3e^{3x}+cos(2x)/x - sin(2x)/2x^{2} \end{eqnarray*}$ .. wäre dann ja was ganz anderes.

Naja, wenn die 2 nun auch stimmt (super!) kann ich ja mit der 3 weitermachen.

$\begin{eqnarray*} f(x)= ln(1/(1+x^{2})) \end{eqnarray*}$

Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann müsste $\begin{eqnarray*} f(x)= ln(1/(1+x^{2})) \end{eqnarray*}$ abgeleitet ja sein:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1/{(1/(1+x^{2}))} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 17:56

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von StarupJemand hat mir aber gesagt Aufgabe 2 gäbe: $\begin{eqnarray*} -3e^{3x}+cos(2x)/x - sin(2x)/2x^{2} \end{eqnarray*}$ .. wäre dann ja was ganz anderes.

Also entweder meint der/die jenige $\begin{eqnarray*} -3e^{3x}+cos(2x)/2x^2 - sin(2x)/2x^{2} \end{eqnarray*}$ (das wäre nämlich das gleiche) oder das ist schlicht und einfach falsch.

Zitat:

Original von Starup
Dann müsste $\begin{eqnarray*} f(x)= ln(1/(1+x^{2})) \end{eqnarray*}$ abgeleitet ja sein:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1/{(1/(1+x^{2}))} \end{eqnarray*}$

Nein, wende die Kettenregel an. Also der Teil ist schon richtig, da fehlt aber noch was.

Und bitte benutze \frac{...}{...} für Brüche.

02.11.2008, 18:05

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, super, dann hab ich die ersten beiden Aufgaben fertig =)

Zu 3:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ln(\frac{1}{1+x^{2}}) \end{eqnarray*}$

Das ist ja demfall eine doppelte Verschachtelung: eine LN-Ableitung und einmal die Kettenregel in der Bruchableitung. Womit beginne ich denn da?

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1/{(1/(1+x^{2}))} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f(x)= 1+x^{2} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 18:12

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)= \ln(\frac{1}{1+x^{2}}) \end{eqnarray*}$

Ok, das hattest du ja schon:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \ln\frac{1}{\frac{1}{1+x^2}} = \ln (1+x^2) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt jetzt eben noch die innere Ableitung, da du ja mit der Kettenregel ableitest.

Alternativ kannst du natürlich auch den ln umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} \ln(\frac{1}{1+x^{2}}) = \ln 1 - \ln (1+x^2) = -\ln (1+x^2) \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 18:26

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \ln\frac{1}{\frac{1}{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ kommt noch die Ableitung von 1/x^2 dazu? Oder wie finde ich da eine innere Ableitung?

02.11.2008, 18:33

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)= \ln(\frac{1}{1+x^{2}}) \end{eqnarray*}$ ist ja verkettet.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g(x) = \ln x~\text{und}~h(x) = \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (g \circ h)(x) = g(h(x)) = \ln(\frac{1}{1+x^2}) \end{eqnarray*}$

Hierauf wendest du eben jetzt die Kettenregel an.

02.11.2008, 18:46

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die Ableitung vom ln $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1+x^{2} \end{eqnarray*}$

Dazu kommt die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist dann: $\begin{eqnarray*} \frac{0*(1+x^{2})-1*2x}{(1+x^2)^{2}} \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 18:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Starup
$\begin{eqnarray*} f(x)= ln(\frac{1}{1+x^{2}}) \end{eqnarray*}$

Das ist ja demfall eine doppelte Verschachtelung: eine LN-Ableitung und einmal die Kettenregel in der Bruchableitung. Womit beginne ich denn da?

Etwas leichter tut man sich mit einer kleinen Umformung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(\frac{1}{1+x^{2}}) = - ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$

02.11.2008, 18:57

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Etwas leichter tut man sich mit einer kleinen Umformung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(\frac{1}{1+x^{2}}) = - ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$

Die hatte ich auch schon geschrieben smile

smile

@Starup

Ja das ist richtig, wobei man die Ableitung nicht über die Quotientenregel hätte machen müssen, sondern den Term umschreiben hätte können:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^{2}} = (1+x^2)^{-1} \end{eqnarray*}$

Grüße Wink

Wink

02.11.2008, 18:59

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Die äussere Ableitung gab (1+x^2)

Die Innere: $\begin{eqnarray*} (1+x^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} (-1) * (1+x^{2})^{-2} * 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x^{2}) * (-1) * (1+x^{2})^{-2} * 2x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -2x / (1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

Stimmt die Lösung?

02.11.2008, 19:03

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt.

Freude

02.11.2008, 19:06

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

So, letzte Aufgabe für heute:

Ableitung von $\begin{eqnarray*} 5^{3x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{3x*ln(5)} \end{eqnarray*}$

abgeleitet: $\begin{eqnarray*} 5^{3x} * ln(5) \end{eqnarray*}$ richtig? Warscheinlich kommt noch ein *3 rein...

02.11.2008, 19:25

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Starup
Warscheinlich kommt noch ein *3 rein...

Genau.

02.11.2008, 19:27

Starup

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja klar, wegen der 3x .. also $\begin{eqnarray*} 5^{3x} *3* ln(5) \end{eqnarray*}$ =).. wow das war ein Tag mit Mathe =)

Danke viel mal an alle die mir geholfen haben =)=)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »