Mal wieder vollständige Induktion

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02.11.2008, 16:32	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal wieder vollständige Induktion Ich weiss das Thema wurde öfters angesprochen, habe auch einige Threads dazu nun gelesen.. Aber damit komme ich nicht weiter :/ Wir haben grad vollständige Induktion angefangen, in der Vorlesung wars recht einfach vom Beispiel her, die Aufgaben dazu aber gar nicht. Induktionsanfang und Behauptung ist ja nicht das Problem, jedoch der Schluss.. Da ich nun Überhaupt nicht klar komme, würde ich bitten wenigstens einen gut erklärten Anfang zu geben, wie ich in den nächsten Schritt weiter vorgehe und vorallem WARUM (den Rest lösen tu ich gern, so ist es nicht ) Danke schonmal, nun die Beispiel Aufgabe, hoffe mach das richtig mit Latex $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^N (2k - 1)^3 = n^2 (2n^2 - 1) \end{eqnarray}$
02.11.2008, 16:36	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige doch mal deinen Induktionsanfang
02.11.2008, 17:01	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
Also uns wurd gesagt als Induktionsanfang erstmal n=0 oda n=1 (zumindest in den fällen für k=1) und einsetzen, um zu beweisen das es dafür schonmal richtig ist, also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^1 (2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 - 1) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} (1)^3 = 1 \cdot (2 - 1) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 1 = 1 \end{eqnarray}$ 1 = 1 allgemein gültig, also für n=1 bewiesen, nun Beheuptung aufstellen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^N (2k - 1)^3 = n^2 \cdot (2n^2 - 1) \end{eqnarray}$ Und Induktionsschluss halt für n+1.. Aber da fängt es dann an. Was ersetzen durch n+1 und so weiter? Und wie dann umstellen um zu beweisen. Da ich mir durch etliche Versuche ziemlich unsicher geworden bin ob ich es überhaupt verstanden hab, würd ichs halt gern detailliert einmal sehen..
02.11.2008, 17:06	uffembetze	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Induktionsschritt von einem n nach n+1 versucht du die Behauptung für n+1 zu beweisen. Im Laufe des Beweises versuchst du, die Induktionsannahme, also dass die Behauptung für ein n gilt, zu nutzen. Das sollte in deinem Fall nicht sonderlich schwer sein..
02.11.2008, 17:13	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das ist mein Problem.. Das ich eben nicht weiss wo ansetzen, ich weiss das es eigtl. simple Umformungen sind, aber die Ansätze Bei mir sind falsch, deshalb gehe ich davon aus es gar nicht verstanden zu haben. Ich würde für den Schluss wie folgt als ersten Schritt so vorgehen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^N + 1 (2(n+1) - 1)^3 = (n + 1)^2 \cdot (2(n+1)^2 - 1) \end{eqnarray}$ Dann halt beides auf eine Seite bringen und versuchen es auf eine der Anfangsformen zu bringen.. Da ich schon selbst davon ausgehe, dass es total fehlerhaft ist hab ich es anfangs erst gar nicht gepostet.. Wäre also nett wenn es mir jemand nochmal für den Induktions-Schluss erklärt
02.11.2008, 17:20	uffembetze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht mir jetzt wirklich etwas wirr aus Also Induktionsannahme ist, dass es für ein n gilt.. also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n (2k-1)^3 = n^2 (2n^2 -1) \end{eqnarray}$ Du willst es zeigen für ein n+1. Also willst du zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = (n+1)^2 (2(n+1)^2 -1) \end{eqnarray}$ Der Anfange wäre dann: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 + (2(n+1)-1)^3 \end{eqnarray}$ Hier die Induktionsannahme einsetzen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = n^2 (2n^2 -1) + (2(n+1)-1)^3 \end{eqnarray}$ Und jetzt weiter umformen und hoffen, dass das rauskommt, was du zeigen möchtest
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02.11.2008, 17:47	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man sieht, ich lag sehr falsch, aber genau das war mein Problem Und hab das Problem auch immer noch. Was ich zeigen will verstehe ich.. Nur deinen Anfang und die Einsetzung, entweder bin ich blind (für das Gegenteil übernehm ich keine Garantie ) oder es wäre nett von dir, wenn du mir genau diese Schritte erklären würdest Da haperts bei mir, von da aus zu rechnen sollte eigtl. kein Problem sein, nur wie genau ich da hin komme ist mir (noch) unverständlich.
02.11.2008, 17:59	uffembetze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das was unter "Der Anfange wäre dann:" steht, ist jetzt schnell erzählt. Die Summe auf der linken Seite läuft bist n+1. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen steht die Summe bis k = n plus den noch fehlenden Summanden für k = n+1. Und im nächsten Schritt, wurde für die Summe bis k = n, die Induktionsannahme eingesetzt. Was genau verstehst du daran nicht?
02.11.2008, 18:18	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
OK lass es mich mal versuchen ob ich es so richtig verstehe... Wenn ich n+1 einsetze für den Term mit k wird dies dazu addiert.. $\begin{eqnarray} (2k - 1)^3 => (2k - 1)^3 + (2(n + 1) - 1)^3 \end{eqnarray}$ Und diesen Zusatzterm addier ich zur anderen Seite und versuche dann durch Umformung halt zum Beweis zu kommen. $\begin{eqnarray} n^2 (2n^2 - 1) + (2(n + 1) - 1)^3 \end{eqnarray}$ Ich mein es steht da so aber halt ob ich es von Weg her richtig versteh
02.11.2008, 18:34	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich davon ausgehe.. Is der Term zur Umformung am ende ja der auf der rechten Seite, also: $\begin{eqnarray} n^2 (2n^2 - 1) + (2 (n + 1) - 1)^3 => 2n^4 - n^2 + 8n^3 + 18n^2 + 6n +1 \end{eqnarray}$ Zusammengefasst is das: $\begin{eqnarray} 2n^4 + 8n^3 + 17n^2 + 1 \end{eqnarray}$ Den Umformungsschritt zur linken Formel seh ich immer noch nich
02.11.2008, 20:33	uffembetze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal ganz langsam und etwas ausführlicher Du hast also für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 = n^2 (2n^2 -1) \end{eqnarray}$ gilt. Jetzt willst du zeigen: Gilt diese Gleichung für ein beliebiges $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ , dann gilt dies auch für $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ und damit für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Dafür nehmen wir erstmal an, dass die Gleichung für ein solches $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ gilt. Mit diesem Wissen, versuchen wir zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = (n+1)^2 (2(n+1)^2 -1) = 2n^4 + 8n^3 + 11n^2 + 6n +1 \end{eqnarray}$ gilt. Wir haben $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in der Gleichung einfach durch $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ ersetzt. Diese Summe kann man aber auch in Form zweier Summanden schreiben: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 + (2(n+1)-1)^3 \end{eqnarray}$ Für die Summe auf der rechten Seite wird die Induktionsannahme eingesetzt, also die oberste Gleichung verwendet. Das ergibt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = n^2 (2n^2 -1) + (2(n+1)-1)^3 = 2n^4 + 8n^3 + 11n^2 + 6n +1 \end{eqnarray}$ Und was sehen wir? ES PASST
02.11.2008, 20:38	SMK	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mein Gott.. jetz seh ich es auch Hab doch echt Tomaten auf den Augen Ich danke wirklich vielmals hast sehr geholfen und zügig geantwortet Danke für die aufgebrachten Nerven, wen ich es mal net versteh dann aber richtig wie sich mal wieder zeigte Problem gelöst, klasse Hilfe
03.11.2008, 13:00	uffembetze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup.. kein Ding

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