vollständige induktion /ungleichung

13.08.2006, 20:54

la chica

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vollständige induktion /ungleichung

hallo erstmal smile

smile

wollte frgen ob mir wer helfen könnte.. hab meine ersten 3 mathe lk stunden hinter mir und mein lehrer ist der "ich schreib nur alles an"-typ unglücklich

unglücklich

ehm..wir haben eine rechnugn angeschrieben bekommen wobei ich einen einzigen schritt nicht erstehe.. unglücklich

unglücklich

könntet ihr mir vllt helfen? und bei einer weiteren aufgabe versage ich auch nach einem schritt :/

Behauptung: B(n): 0,1n^2 > 2n+1 f.a. n € N

B(22): 0,1*22^2 > 2*22+1
48,4 > 45 (wahr)

B(n): 0,1n^2 > 2n+1
B(n+1): 0,1(n+1)^2 > 2(n+1)+1

0,1(n+1)^2 = 0,1(n^2+2n+1) = 0,1n^2+0,2n+0,1 >2n+1+0,2n+0,1 = 2n+0,2n+1,1> 2n+3

0,2n+1,1 >3
0,2n >1,9
n>9,5

meine frage dazu: wie kommt man auf das, was nach dem ersten ">" steht? also ab >2n+1+0,2n+0,1 ?

und wieso rechne ich ausgerechnet als letztes 0,2n+1,1 >3 und nich >5 oder keine ahnung xD
und was beudetet die 9,5 dann?

sry wenn meine frage für manche vllt doof erscheint :/

in einer anderen aufgabe 2(hoch n) > 4n komm ich ncith weiter als mit 2(noch n) > 4n
2(hoch n+1) >8n

wär nett wenn wer nen rat haette ^^

13.08.2006, 21:04

system-agent

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RE: vollständige induktion /ungleichung

Zitat:

Original von la chica
in einer anderen aufgabe 2(hoch n) > 4n komm ich ncith weiter als mit 2(noch n) > 4n
2(hoch n+1) >8n

die letzte zeile ist unsinn, da hast du nicht korrekt eingesetzt...

13.08.2006, 21:06

la chica

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muss ich nicht auf ebiden seiten mit 2 erweitern? damit ich per potenzgesetzen die 2(n+1) hinkriege?

13.08.2006, 21:07

Ambrosius

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Also ich vermute mal die Behauptung soll das sein:

$\begin{eqnarray*} 0,1*n^2 > 2n +1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Setz doch einfach mal n=1. Dann ist die Ungleichung schon mal wiederlegt für alle natürlichen Zahlen

Zur zweiten:

Der Induktionsschritt muss auch so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 8^{n+1} \end{eqnarray*}$ Jetzt schreibst du $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ als Produkt und wendest die Induktionsannahme an.

Übrigens gilt die zweite ungleichung auch nicht für alle natürlichen Zahlen.

13.08.2006, 21:08

la chica

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ich hab echt grade n brett vorm kopf >.< aber danke schon mal an euch smile

smile

ehm..wieso 8 (hoch n) ? oO

13.08.2006, 21:10

la chica

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ja das stimmt für alle n größer gleich 5 ^^ das hab ich everrgessn zu schreibn

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13.08.2006, 21:10

Ambrosius

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Hoppla. natürlich nicht 8^n. Hab mich verlesen. Du beginnst mit $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2^n *2 \end{eqnarray*}$ und wendest dann die Annahme an, das die ungleichung gilt

13.08.2006, 21:11

AD

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Zitat:

Original von Ambrosius
Also ich vermute mal die Behauptung soll das sein:

$\begin{eqnarray*} 0,1*n^2 > 2n +1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Und ich kenne "f.a." als Abkürzung für "fast alle". Und dann wäre die Behauptung richtig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.08.2006, 21:13

la chica

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ja das was ambrosius als letztes schrieb hab ich auch getan ^^

und was muss auf die rechte seite? nicht etwa 2*4n ? oO also 8n ?

japp fast alle.. also ab 96 oder so haben wir den def.bereich genommen

13.08.2006, 21:13

Abakus

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RE: vollständige induktion /ungleichung

Zitat:

Original von la chica
Behauptung: B(n): 0,1n^2 > 2n+1 f.a. n € N

B(22): 0,1*22^2 > 2*22+1
48,4 > 45 (wahr)

B(n): 0,1n^2 > 2n+1
B(n+1): 0,1(n+1)^2 > 2(n+1)+1

0,1(n+1)^2 = 0,1(n^2+2n+1) = 0,1n^2+0,2n+0,1 >2n+1+0,2n+0,1 = 2n+0,2n+1,1> 2n+3

Das sind oben der Induktionsanfang und unten der Induktionsschritt. Ist dir exakt klar, was beides bedeutet und was du bei einer Vollständigen Induktion zeigen musst ? Ggf. lese das erstmal nach.

Nach dem ">" geht die Induktionsbehauptung ein. Es ist $\begin{eqnarray*} 0.1 \cdot n^2 > 2n + 1 \end{eqnarray*}$ . Das wird einfach nur eingesetzt.

Zitat:

Original von Ambrosius
Also ich vermute mal die Behauptung soll das sein:

$\begin{eqnarray*} 0,1*n^2 > 2n +1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Setz doch einfach mal n=1. Dann ist die Ungleichung schon mal wiederlegt für alle natürlichen Zahlen

Ja, nur der Induktionsanfang ist für n=22 gemacht worden.

Für die 2-te Frage kannst du einmal aufschreiben, bis wohin du genau kommst (was sind IA, IB, IS ?).

Grüße Abakus smile

smile

13.08.2006, 21:13

system-agent

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da hat ambrosius was falsch gelesen, ich denke die ungleichung soll
$\begin{eqnarray*} 2^n > 4n \end{eqnarray*}$ sein, welche bewiesen werden soll.
nun gut, fangen wir man an:
sei n=5, hierfür ist die ungleichung wohl erfüllt, denn es ist $\begin{eqnarray*} 2^5=32 >4\cdot 5=20 \end{eqnarray*}$

nun nimmst du an, dass die ungleichung für ein bestimmtest $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ schon gilt, damit ist $\begin{eqnarray*} 2^{n_0} > 4\cdot n_0 \end{eqnarray*}$ die induktionsvoraussetzung. nun mach den schritt von n auf n+1 !

13.08.2006, 21:13

Ambrosius

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@Arthur: wenn man es so interpretiert stimmt das natürlich smile

smile

13.08.2006, 21:16

la chica

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@ abakus
danke für die antwort aber das wusste ich doch schon alles oO hab doch geschriebn ab wo ich nciht mehr klar kam unglücklich

unglücklich

@ system-agent

da hab ich dann wie gesagt auf beiden seiten mit *2 gerechnet wegen der potenzregeln

also 2(hoch n+1) > 8n

anscheinend falsch so wie mri heir gesagt wird...

und dann weiß ich gar nicht weiter :/

13.08.2006, 21:20

system-agent

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ist dir bis dahin wie ich das nochmal aufgeschrieben habe die vollständige induktion klar?

also jetzt kommt der schritt von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} n_0+1 \end{eqnarray*}$ , sprich du musst überall $\begin{eqnarray*} n_0+1 \end{eqnarray*}$ einsetzen. deine ungleichung wäre demnach:
$\begin{eqnarray*} 2^{n_0+1} > 4(n_0+1) \end{eqnarray*}$

13.08.2006, 21:22

La Chica

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ja das mit dem n+1 war mir klar... versteh ich so weit aber ich dachte da ich auf einer seite mit 2 multiplizieren muss müsste ich es auf der anderen seite auch tun?! da lieg ich dann wohl falsch.. ^^

so hattnen wir das nämlich bei einer anderen aufgabe mal gemacht..
von 1,1(hoch n) > n²
1,1(hoch n+1) > n² * 1,1

das evrwirrt mich grade etwas

13.08.2006, 21:24

system-agent

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wenn du die "mal 2" sozusagen aus dem wald mitbringst und da mit rein multiplizierst, musst du es natürlich mit beiden seiten machen, aber das musst du ja auch nicht. schreibe es doch mal nach den potenzgesetzen die linke seite um und multipliziere die rechte aus

13.08.2006, 21:29

La Chica

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hab ich doch schon so oft geschriebn..okay machen wir es mal in super ausführlich ..haha

2(hoch n) > 4n | *2
2(hoch n) * 2 > 4n*2
2 (hoch n+1) > 8n

oder ich habe echt n dickes brett vorm kopf und kann die einfachsten dinge nicht mehr Hammer

Hammer

13.08.2006, 21:31

Ambrosius

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Die Induktionsannahme ist ja $\begin{eqnarray*} 2^n > 4n \end{eqnarray*}$ .

Nun der Induktionssschritt, das heißt du musst die Ungleichung für n+1 zeigen, d.h zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 4*(n+1) \end{eqnarray*}$

13.08.2006, 21:33

system-agent

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genau, bzw.
$\begin{eqnarray*} 2^{n_0+1}=2^{n_0}\cdot 2 > 4(n_0+1)=4n_0+4 \end{eqnarray*}$

13.08.2006, 21:36

La Chica

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aah mir geht grade echt ein licht auf.. ^^
nich mein tag heute *grins*

und dann kommt aber das was ich bei der ersten aufgabe die an der tafel stand total nicht verstanden hab und keiner aus meinem kurs sonst.. :/
kannste vllt mal erklärn was getan werden muss?

boah ich bin echt glücklich dass mir wer hilft^^
dankeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee Big Laugh

Big Laugh

13.08.2006, 21:41

system-agent

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so wie ich das sehe wurde einfach weiter abgeschätzt, also dass 0,2n+1,1 > 3 eben gilt für alle n>9,5 (habs jetzt allerdings nicht nachgerechnet), weil ja $\begin{eqnarray*} 2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3 \end{eqnarray*}$ ist

sozusagen "von hinten gerechnet", was sehr nützlich sein kann

13.08.2006, 21:49

La Chica

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hmm okay das war mir auch klar aber davo.. also ich schreibs nochmal auf...

0,1(n+1)² = 0,1n²+0,2n+0,1 >2n+1+0,2n+0,1
(wie kommt man auf dass nach dem ">") oO
=2n+0,2n+1,1 > 2n+3
(und dort auf die 2n am anfang)

man ihr tut mir leid sich mit sowas wie meinen fragen rumschlagen zu müssen unglücklich

unglücklich

13.08.2006, 21:55

system-agent

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beim ersten ">" wurde lediglich die induktionsvoraussetzung benutzt, die besagt, dass für ein beliebiges, aber festes, $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0,1n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ . also wurde dann das 0,1n^2 vor dem ">" durch 2n+1 ersetzt, was nach der annahme ja erlaubt ist. was die 2n angeht, die kommen von eben der voraussetzung

deine fragen? ich find das gut, denn mit jedem, dem du etwas erklärst lernste es selbst besser verstehen, somit erklär ichs mir grade nochmal mit !

edit:
lies dir vll. auch noch den workshop zum thema VI durch

13.08.2006, 22:00

La Chica

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so banal dass ich gar nicht drauf komme *grins*
dankeeeeeeeee nochmal smile

smile

ja das kenn ich

ich geb bis einschließlich 11te klasse bei 3 schülern meines gymnasiums nachhilfe in englisch und mathe (auch meine lk's^^) und hilft doch wenn man ältere themen mal kurz wieder in erinnerung rufen kann...
grade in mateh für beweisführungen ja öfters mal entscheidend

13.08.2006, 22:00

AD

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Ich muss mal ganz ketzerisch fragen: Muss das sein, eine Ungleichung wie $\begin{eqnarray*} 0.1n^2 > 2n+1 \end{eqnarray*}$ unbedingt durch Induktion zeigen zu wollen? Wenige algebraische äquivalente Umformungen führen zu $\begin{eqnarray*} 0 < n^2-20n-10 = (n-10)^2-110 \end{eqnarray*}$ , und dass letztere für $\begin{eqnarray*} n\geq 21 \end{eqnarray*}$ gilt, sollte einsichtig sein.

Wie ich das verstehe, ist $\begin{eqnarray*} 0.1n^2 > 2n+1 \end{eqnarray*}$ sowieso nur eine Hilfsaussage, die im Induktionsschluss zum Beweis der Behauptung $\begin{eqnarray*} 1.1^n > n^2 \end{eqnarray*}$ benötigt wird...

13.08.2006, 22:05

La Chica

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fragen darfst du die antwort wird ir der lehrplan zum zentralabi 08 geben denke ich ^^

unser lehrer sagte auch nur "vollständige induktion benutzt man um zbsummenformeln zu vereinfachen.es gibt 3 sorten davon"
nimmt die kreide schreibt 3 induktionen an.. naja.. und an der hab ich dann doch grade gehapert.. obwohl's eig. ein kinderspiel ist..^^

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