Vollständige Induktion

02.11.2008, 17:10

Q-fLaDeN

Vollständige Induktion

Auch wenn euch die "vollständige Induktion-Theads" vllt. nerven schmeiss ich hier auch mal einen rein Big Laugh

Ich wollte nur wissen ob ich das Prinzip verstanden habe und die Aufgabe richtig gelöst ist.

Aufgabe:
"Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3),~\forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ "

IA: $\begin{eqnarray*} n=1 \Rightarrow 1(1+1)(1+2) = \frac{1}{4}1(1+1)(1+2)(1+3) \end{eqnarray*}$ wahre Aussage.

IV: Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt.

IS: Also muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3) \end{eqnarray*}$
Stimmt das bis hierhin? Was genau muss ich als nächstes machen? Bzw. welche Seite muss ich nach was umformen?

Grüße Wink

02.11.2008, 17:13

tmo

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
IS: Also muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}n((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3) \end{eqnarray*}$

Das muss nicht gelten, sondern das musst du zeigen.

Fange bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$ an und forme unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung zum, bis zu am Ziel angekommen bist.

02.11.2008, 17:24

Q-fLaDeN

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von tmo
Das muss nicht gelten, sondern das musst du zeigen.

Ja natürlich LOL Hammer

Zitat:

Original von tmo
Fange bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) \end{eqnarray*}$ an und forme unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung zum, bis zu am Ziel angekommen bist.

Genau das habe ich gebraucht.

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)+(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2) \end{eqnarray*}$

Jetzt benutze ich die Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)+(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)+(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2) \end{eqnarray*}$

Jetzt steh ich Idiot wieder auf dem Schlauch unglücklich

Oder passt das bis hierhin?
Am Ende sollte ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \end{eqnarray*}$ erhalten?

\edit:
Fehler bei IS verbessert.

02.11.2008, 17:31

tmo

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Schreib beim rechten Summand vorne dran noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot 4 \end{eqnarray*}$ und klammere dann so viel wie möglich aus.

02.11.2008, 17:42

Q-fLaDeN

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Ich hab soviele Summanden, welchen meinst du denn?

Und warum $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot 4 \end{eqnarray*}$ ?

\Edit:

Meinst du so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)+(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)+\frac{1}{4} \cdot 4 (n+1)((n+1)+1)((n+1)+2) \end{eqnarray*}$

?

02.11.2008, 18:45

Q-fLaDeN

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Also falls du das so meinst, versuch ichs mal so.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)+\frac{1}{4} \cdot 4 (n+1)(n+2)(n+3)= \frac{1}{4}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \end{eqnarray*}$
q.e.d.

Das sollte stimmen oder?

03.11.2008, 00:08

tmo

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Genau. So einfach wars Augenzwinkern

03.11.2008, 10:35

Q-fLaDeN

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Dankeschön, jetzt kann ich das auch smile

03.11.2008, 10:40

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Anmerkung: Es gilt übrigens folgende nette Verallgemeinerung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \binom{k+m-1}{m} = \binom{n+m}{m+1} ~ \forall m,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ,

die vorliegende Aussage wäre der Fall m=3.

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