Beweis: w=z^2 |
02.11.2008, 18:45 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis: w=z^2 Ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe: Zeige, dass es zu jedem w Element C ein z Element C gibt mit . (C= Komplexe Zahlen) Ist hier vollständige Induktion nötig? Wie muss man dann anfangen? |
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02.11.2008, 18:49 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach was willst du den Induktion machen? Die Aufgabe löst man durch einen direkten Beweis. Tipp: Exponentialdarstellung |
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03.11.2008, 08:26 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Läuft das dann so ab, dass ich sage: w, z Element C ("der komplexen Zahlen) und die Gleichung so aufstelle: und dann so lange mithilfe der Axiome umforme, bis auch beiden Seiten der GLeichung dasselbe steht? |
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03.11.2008, 08:45 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du unbedingt meinen Tipp ignorieren willst: Ja könnte auch funktionieren. |
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03.11.2008, 08:52 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre es also auch richtig, es so anzuschreiben? Ich habe deinen Tipp nicht ignoriert, weiß nur nicht so genau, wie ich das ausführen soll. :/ |
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03.11.2008, 09:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kennst du denn die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl? |
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03.11.2008, 09:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Exponentialdarstellung hat den Vorteil, dass die Quadratwurzel aus der komplexen Zahl mittels Halbierung des Exponenten dargestellt werden kann. Habt ihr allerdings zunächst nur durch die Verknüpfungsvorschrift zweier Zahlenpaare strukturiert, so musst du zeigen, dass die Gleichung EDIT: Links standen irrtümlich Quadrate, wurde entfernt (2) relle Lösungen für besitzt. mY+ |
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03.11.2008, 23:25 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also muss ich mit den Axiomen so umformen, dass ich Lösungen für bekomme?! |
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03.11.2008, 23:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mich oben verschrieben, natürlich muss es heissen .... ... die Quadrate bei (a, b) gehören dort nicht hin. Sorry! Also musst du die Gleichung auflösen, ja, so ist es. Du erhältst für die Real- und Imaginärteile je eine Gleichung. Es ergibt sich im Weiteren eine biquadratische Gleichung (quadratisch im Quadrat), und du musst zeigen, dass diese 2 reelle Lösungen hat, die sich nur um das Vorzeichen unterscheiden. So ist zu rechnen, wenn du nur die Axiome verwenden darfst/sollst. Ansonsten ist der Weg über die Exponentialdarstellung vorzuziehen, weil einfacher. mY+ |
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04.11.2008, 15:18 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Dieser Pfeil soll schon bedeuten, dass die Gleichung aus der davor folgt, oder? Mir ist zwar klar, dass die Klammer ausquadriert wurde, aber nicht, wie man dann auf diese zweite Gleichung kommt...bzw. wo dieses "-" herkommt. Und könnte man diese GLeichung auch mit "i" anschreiben? So wären der reelle/imaginäre Teil leichter voneinander zu trennen...ich habe im Moment Schwierigkeiten, mit dieser Form zu rechnen. |
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04.11.2008, 23:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Von der Zahlenpaarform kann man natürlich auch auf die binomische Form (oder letztendlich auch auf die Exponentialschreibweise) überwechseln. Demnach ist bzw. (Im Körper der komplexen Zahlen sind ja zwei Verküpfungen definiert) Du hast nun (analog zur ersten Darstellung) die Gleichung nach aufzulösen. Dazu machst du einen Koeffizientenvergleich nach Real- und Imaginärteilen. ------------------------------------------- Zur Exponentialform: , wobei Die Darstellung von mittels SIN und COS ist innerhalb der ersten 4 Quadranten eindeutig, nicht aber die mit TAN, denn da gibt es zwei Werte, von denen nur einer gültig ist. mY+ |
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05.11.2008, 12:46 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Besten Dank! Reeller Teil: Imaginärteil: Soweit richtig? bzgl. dem Koeffizientenvergleich bin ich jetzt etwas verwirrt; wegen und (dasselbe mit b). Ansonsten könnte ich ja aus dem Imaginärteil schließen: |
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05.11.2008, 17:54 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bzw. ; a_1=-1/2 |
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05.11.2008, 20:17 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, die reellen Lösungen wären dann: daraus würde dann wieder folgen, dass ist, dann gäbe es für a noch zwei weitere Lösungen. Aber ich schätze mal, dass das falsch ist, da ich mit und nicht so rechnen kann...v.a. bin ich mir nichteinmal sicher, ob ich richtig umgeformt habe. Entschuldigt bitte das ständige "reposten", aber ich kann leider nicht editieren, möchte allerdings trotzdem meine Ideen bzw. Rechenschritte aktualisieren. |
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05.11.2008, 22:17 | brainfever | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir vl. noch schnell jemand sagen, wie sich das jetzt mit und verhält? Ich soll schließlich nach und auflösen. Aber was ist dann mit dem ? Das kommt schließlich nur im Imaginärteil vor. |
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06.11.2008, 01:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis daher richtig. Und dann fängst du an zu patzen. Beim Koeffizientenvergleich der Imaginärteile musst du natürlich das weglassen. Daher ist -------------------------- Aus der 2. Gleichung: einsetzen: Nun nach (reell!) auflösen, es folgt aus der 2. Gl.: mY+ |
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