Beweis: w=z^2

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brainfever Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: w=z^2
Guten abend! smile

Ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe:

Zeige, dass es zu jedem w Element C ein z Element C gibt mit .
(C= Komplexe Zahlen)


Ist hier vollständige Induktion nötig?
Wie muss man dann anfangen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nach was willst du den Induktion machen? geschockt

Die Aufgabe löst man durch einen direkten Beweis.
Tipp: Exponentialdarstellung
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Läuft das dann so ab, dass ich sage:

w, z Element C ("der komplexen Zahlen)


und die Gleichung so aufstelle:



und dann so lange mithilfe der Axiome umforme, bis auch beiden Seiten der GLeichung dasselbe steht?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du unbedingt meinen Tipp ignorieren willst:
Ja könnte auch funktionieren.
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es also auch richtig, es so anzuschreiben?

Ich habe deinen Tipp nicht ignoriert, weiß nur nicht so genau, wie ich das ausführen soll. :/
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du denn die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Exponentialdarstellung hat den Vorteil, dass die Quadratwurzel aus der komplexen Zahl mittels Halbierung des Exponenten dargestellt werden kann.

Habt ihr allerdings zunächst nur durch die Verknüpfungsvorschrift zweier Zahlenpaare



strukturiert, so musst du zeigen, dass die Gleichung





EDIT: Links standen irrtümlich Quadrate, wurde entfernt

(2) relle Lösungen für besitzt.

mY+
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich



mit den Axiomen so umformen, dass ich Lösungen für bekomme?!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich oben verschrieben, natürlich muss es heissen

....



...

die Quadrate bei (a, b) gehören dort nicht hin. Sorry!

Also musst du die Gleichung



auflösen, ja, so ist es. Du erhältst für die Real- und Imaginärteile je eine Gleichung. Es ergibt sich im Weiteren eine biquadratische Gleichung (quadratisch im Quadrat), und du musst zeigen, dass diese 2 reelle Lösungen hat, die sich nur um das Vorzeichen unterscheiden.

So ist zu rechnen, wenn du nur die Axiome verwenden darfst/sollst. Ansonsten ist der Weg über die Exponentialdarstellung vorzuziehen, weil einfacher.
mY+
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! smile

Dieser Pfeil soll schon bedeuten, dass die Gleichung aus der davor folgt, oder?

Mir ist zwar klar, dass die Klammer ausquadriert wurde, aber nicht, wie man dann auf diese zweite Gleichung kommt...bzw. wo dieses "-" herkommt.

Und könnte man diese GLeichung auch mit "i" anschreiben?
So wären der reelle/imaginäre Teil leichter voneinander zu trennen...ich habe im Moment Schwierigkeiten, mit dieser Form zu rechnen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Zahlenpaarform kann man natürlich auch auf die binomische Form (oder letztendlich auch auf die Exponentialschreibweise) überwechseln. Demnach ist





bzw.


(Im Körper der komplexen Zahlen sind ja zwei Verküpfungen definiert)

Du hast nun (analog zur ersten Darstellung) die Gleichung



nach aufzulösen. Dazu machst du einen Koeffizientenvergleich nach Real- und Imaginärteilen.

-------------------------------------------

Zur Exponentialform: , wobei

Die Darstellung von mittels SIN und COS ist innerhalb der ersten 4 Quadranten eindeutig, nicht aber die mit TAN, denn da gibt es zwei Werte, von denen nur einer gültig ist.

mY+
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank!








Reeller Teil:



Imaginärteil:





Soweit richtig?


bzgl. dem Koeffizientenvergleich bin ich jetzt etwas verwirrt; wegen und (dasselbe mit b).

Ansonsten könnte ich ja aus dem Imaginärteil schließen:

brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

bzw.

; a_1=-1/2
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die reellen Lösungen wären dann:





daraus würde dann wieder folgen, dass

ist, dann gäbe es für a noch zwei weitere Lösungen.


Aber ich schätze mal, dass das falsch ist, da ich mit und nicht so rechnen kann...v.a. bin ich mir nichteinmal sicher, ob ich richtig umgeformt habe.


Entschuldigt bitte das ständige "reposten", aber ich kann leider nicht editieren, möchte allerdings trotzdem meine Ideen bzw. Rechenschritte aktualisieren.
brainfever Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir vl. noch schnell jemand sagen, wie sich das jetzt mit und verhält?

Ich soll schließlich nach und auflösen.

Aber was ist dann mit dem ?
Das kommt schließlich nur im Imaginärteil vor.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brainfever
...
Reeller Teil:



Imaginärteil:


...


Bis daher richtig. Und dann fängst du an zu patzen. Beim Koeffizientenvergleich der Imaginärteile musst du natürlich das weglassen. Daher ist



--------------------------
Aus der 2. Gleichung:

einsetzen:




Nun nach (reell!) auflösen, es folgt aus der 2. Gl.:

mY+
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