Beweis: Fakultät > Potenz

02.11.2008, 19:06

barthcar

Beweis: Fakultät > Potenz

Hi Leute,

da mein Thread zu diesem Thema in die Schulmathematik verschoben wurde, und mir dort keiner antwortet, muss ich es jetzt leider noch einmal hier posten.
Es geht um folgende Aufgabe (vermutlich vollständige Induktion):

$\begin{eqnarray*} 2^n<n! \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} n^n>5n! \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz für die erste Gleichung war folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n~2_k < \prod_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$

Für den Induktionsanfang gilt dann n=4:

$\begin{eqnarray*} 16>24 \end{eqnarray*}$ wahre Aussage.

Und der Induktionsschritt ist meiner Meinung nach entweder:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}~2_k < \prod_{k=1}^{n+1}~k \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} 1< \prod_{k=1}^{n+1}~\frac{k}{2_k} \end{eqnarray*}$

In der zweiten Gleichung habe ich einfach nur durch den linken Term dividiert und beides in ein Produkt geschrieben. Wie geht es jetzt weiter, komme wirklich nicht drauf! traurig

Carlo

02.11.2008, 22:11

klarsoweit

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RE: Beweis: Fakultät > Potenz

Zitat:

Original von barthcar
Mein Ansatz für die erste Gleichung war folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n~2_k < \prod_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$

Sieht mir eher aus wie eine Ungleichung. Und den Index k an der 2 kannst du dir sparen.

Zitat:

Original von barthcar
$\begin{eqnarray*} 16>24 \end{eqnarray*}$ wahre Aussage.

So so.

Zitat:

Original von barthcar
Und der Induktionsschritt ist meiner Meinung nach entweder:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}~2_k < \prod_{k=1}^{n+1}~k \end{eqnarray*}$

Schreibe $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}~2 = 2 \cdot \prod_{k=1}^n~2 \end{eqnarray*}$ und nutze die Induktionsvoraussetzung. smile

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