empirische Varianz und Stichprobenvarianz

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02.11.2008, 20:14	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
empirische Varianz und Stichprobenvarianz Einen schönen guten Abend, ich hänge leider an einer Aufgabe fest, und zwar möchte ich beweisen, dass $\begin{eqnarray} E(S_n^{2})= \sigma^{2} \end{eqnarray}$ Was ich schon gemacht habe: $\begin{eqnarray} E(S_n^{2})= E(1/n-1) \sum_{n=1}^n~(x_i- x(quer)_n)^{2}=1/(n-1)E(\sum_{n=1}^n~x_i ^{2}-nx(quer)_n^{2}) \end{eqnarray}$ und hier häng ich jetzt fest. Kann mir jemand nen kleinen Denkanstoß geben? Viele Grüße
03.11.2008, 17:53	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: empirische Varianz und Stichprobenvarianz Keiner hier, der mir nen kleinen Denkanstoß geben möchte/kann?
03.11.2008, 18:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht drängeln, sondern Boardsuche bemühen! Das Thema ist hier nämlich schon mal behandelt worden. EDIT: Ich nehm dir die Suche mal noch ab: Beweis der Erwartungstreue der empirischen Varianz
03.11.2008, 19:02	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschuldigung, wollte nicht drängeln... Danke für den Link... Lässt es sich auch mit Hilfe meines Ansatzes irgendwie beweisen???
03.11.2008, 19:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht - aber m.E. macht es die Sache noch komplizierter. Das wird vielleicht klar, wenn du dir den verlinkten Beitrag durchliest.
03.11.2008, 20:26	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir den Link schon durchgelesen, dachte nur es ginge eventuell auch mit meinem Ansatz, aber ich es natürlich nicht schwerer machen, als es ist... Danke
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04.11.2008, 08:56	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, ich habe einen anderen Lösungsweg gefunden, jedoch versteh ich einen Schritt nicht: $\begin{eqnarray} E(S_n^{2})=E(1/(n-1) \sum_{n=1}^n~(X_i-\bar{X_n})=E(1/(n-1)n/n \sum_{n=1}^n~(X_i-\bar{X_n})=E(n/(n-1) S_n^{2}) \end{eqnarray}$ Ich versteh nicht, wie man von $\begin{eqnarray} E(1/(n-1)n/n \sum_{n=1}^n~(X_i-\bar{X_n}) \end{eqnarray}$ nach hier kommt $\begin{eqnarray} E(n/(n-1) S_n^{2}) \end{eqnarray}$ kann mir jemand helfen???
04.11.2008, 08:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe nur Fehler über Fehler: Da sind zum einen die vergessenen Quadrate, und zum anderen mengst du da zwei verschiedene empirische Varianzen durcheinander: Die mit Nenner $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und die mit Nenner $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ , und beide bezeichnest du mit $\begin{eqnarray} S_n^2 \end{eqnarray}$ . Aber ich freue mich gern, im weiteren einen kürzeren Beweisweg von dir zu sehen.
04.11.2008, 09:43	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal der Link, wo ich die Herleitung gefunden habe, vielleicht kannst du dir ja mal auf Seite 7 die Herleitung anschauen, ich verstehe nicht, wie man von Zeile 2 zu Zeile 3 kommt. Wäre toll, wenn du mir da weiterhelfen könntest: http://www.stat.uni-muenchen.de/~kneib/s...ad/kapitel2.pdf
04.11.2008, 09:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich analysiere nicht für dich andere Lösungswege, das musst du schon selbst tun, wenn dir mein Zugang nicht gefällt - da habe ich auch meine Eitelkeiten. Nachtrag: Ich hab mir die paar Seiten mal durchgeblättert. Der hier gefragte Beweis ist dort gar nicht zu finden, auf Seite 225 steht zu der Aussage nur "Es gilt (ohne Beweis) ..." . Du gehst ja wirklich sehr gründlich vor, das muss man schon sagen.
04.11.2008, 10:07	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man noch etwas weiter liest, und zwar bis zum nächsten Puntk steht da: Für die korrigierte Stichprobenvarianz gilt dagegen:... und dann kommt der Beweis, aber ich kann ihn auch gerne hier hinschrieben: $\begin{eqnarray} E(S^{2})= E(1/(n-1) \sum_{n=1}^n~(X_i-\bar{X})^{2})=E(1/(n-1)n/n \sum_{n=1}^n~(X_i-\bar{X})^{2})=E(n/(n-1)S^{2})=n/(n-1)(n-1)/n\sigma^{2}= \sigma^{2} \end{eqnarray*}$
04.11.2008, 10:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine klitzekleine Folgerung für die "andere" Varianz. Der eigentliche Beweis führt die (n-1)-Varianz fehlt, sieh es doch endlich ein! Ich verstehe ja deinen Hang zum Dünnbrettbohren, aber damit kommst du hier nicht durch.
04.11.2008, 11:18	schlumpfine	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab verstanden, dass das nicht als Beweis reicht, trotzdem versteh ich nicht wie man von $\begin{eqnarray} E(1/(n-1)n/n\sum_{n=1}^n~(X_i-\bar{X})^{2}) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} E(n/(n-1)S^{2}) \end{eqnarray*}$ kommt
04.11.2008, 11:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum dritten und letzten Mal: Es kursieren dort zwei verschiedene empirische Varianzen, und du musst die Symbole genau lesen! Zum einen die richtige empirische Varianz $\begin{eqnarray} S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \end{eqnarray}$ . Zum anderen eine eigentlich falsche Varianz $\begin{eqnarray} \overline{S}_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \end{eqnarray}$ . Und in dem von dir so geliebten und doch in Hinblick auf die vorliegende Problemstellung so wertlosen PDF-File wird lediglich aus dem banalen Zusammenhang $\begin{eqnarray} S_n^2 = \frac{n}{n-1} \overline{S}_n^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} E(S_n^2) = \frac{n}{n-1} E(\overline{S}_n^2) \end{eqnarray}$ geschlossen. Der Löwenanteil des Beweises, nämlich $\begin{eqnarray} E(\overline{S}_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \end{eqnarray}$ , wird dort NICHT DARGESTELLT.

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