Topologie in metrischen Räume

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summer Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie in metrischen Räume
hallo!!!! hab da ein problem mit na aufgabe, die raff ich irgendwie nich verwirrt vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen

also:

Sei (X,d) ein metrischer Raum, M Teilmenge X , r > 0. Ich soll zeigen:
a) a Element M quer, genau dann wenn, es gibt eine Folge ak , k , so dass .
b) ((B unten r) (a)) quer ist Teilmenge . Geben Sie ein Beispiel so an, dass die Inklusion strikt ist!!!!
und noch diese hier
c) Beweisen Sie, dass die Menge M:= kompakt ist, indem Sie nachweisen, dass M die Heine-Borel-Eigenschaft hat.


Vielen Dank schon mal im Vorraus Wink
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologir in metrischen Räume
Du erlaubst, dass ich deine Frage mal ins Deutsche übersetze? Augenzwinkern


Sei (X,d) ein metrischer Raum, M Teilmenge von X , r > 0. Ich soll zeigen:

a) Es ist genau dann, wenn es eine Folge (a_k) in M (k in N) gibt, so dass .

b) ist Teilmenge von . Geben Sie ein Beispiel so an, dass die Inklusion strikt ist!

und noch diese hier

c) Beweisen Sie, dass die Menge kompakt ist, indem Sie nachweisen, dass M die Heine-Borel-Eigenschaft hat.

Ich hoffe, jemand kann dir mit den Aufgaben helfen.

Es gibt übrigens eine Kurzschreibweise für die abgeschlossene Kugel:


Gruss,
SirJective
 
 
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Für (a) weise zunächst nach, dass cl M= Menge d. Berührpunkte (falls nicht so definiert).
Dann Konstruktion der Folge über Kugelfolge um a mit Radius gegen Null.
Die andere Richtung geht indirekt: Angenommen, a \in (cl M)^c, dann
ex. Kugel um a. die außerhalb cl M liegt und in der unendl. viele Folgenglieder
liegen. Widerspruch.
(b) lässt sich wahrscheinlich aus (a) folgern, ein Bsp. für die strikte Inkl.
ist die Einheitskugel in IR.
Bei (c): Was ist die HBE?

Ich hoffe, dass diese Stenoversion erstmal weiterhilft.

Liebe Grüße
Mario
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologir in metrischen Räume
Zitat:
Original von SirJective
b) ist Teilmenge von . Geben Sie ein Beispiel so an, dass die Inklusion strikt ist!

Was soll das? Das ist doch ein- und dieselbe Menge. Da kann garkeine strikte Inklusion der Fall sein.

Ist die Heine-Borel-Eigenschaft dieser Überdeckungskram? Man kann das auch ganz einfach zeigen. In metrischen Räumen ist folgenkompakt das selbe wie kompakt, und es ist offensichtlich, dass die angegebene Menge folgenkompakt ist.


Mit Überdeckungskram: Es sei , I eine Indexmenge, ein beliebiges System offener Mengen, die überdecken. Dann gibt es ein , so dass . Da , gibt es nur endlich viele außerhalb von U. Diese sind aber alle in Mengen enthalten, so dass K bereits von endlich vielen überdeckt wird.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologir in metrischen Räume
Da würd ich dir zustimmen.
Witzig auch, dass SirJective die Aufgabe "übersetzt" hat und danach
Zitat:
Original von SirJective
Es gibt übrigens eine Kurzschreibweise für die abgeschlossene Kugel:

schreibt verwirrt
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist schon richtig so!

@Ben
Die Schreibweise nehmen manche Assistenten, um damit dann "huebscher" aussehende Behauptungen aufschreiben zu koennen (also wo sich nur der Strich oben veraendert und sonst alles gleich aussieht).


@WebFritzi:
Nimm die diskrete Topologie auf einer mindestens zweielementigen Menge und eine Kugel vom Radius 1 um irgendeinen Punkt x. Dann enthaelt die offene Kugel nur den Punkt x, die abgeschlossene Huelle der offenen Kugel enthaelt immer noch nur den Punkt x und die abgeschlossene Kugel enthaelt den ganzen Raum.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Dann enthaelt die offene Kugel nur den Punkt x

Es geht hier aber nirgendwo um offene Kugeln. Schau's dir nochmal an...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologir in metrischen Räume
Zitat:
Original von SirJective
ist Teilmenge von ...

Wo siehst du hier was offenes?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fragen wir doch mal nach, was mit der Starter mit der Bezeichnung
"B unter r von a"
meinte? (Bevor du mir sagst, da steht nirgends was von einer offenen Kugel)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, er schrieb:

"((B unten r) (a)) quer"

Das ist für mich eindeutig...
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das quer steht ueber den ganzen (B unten r von a) und nicht nur ueber dem B! Das ist der Unterschied, auf den SirJective hinweisen wollte.

Frage an den Starter:
Ist mit (B unten r von a) quer der Abschluss der offenen Kugel gemeint oder die abgeschlossene Kugel?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Aber das quer steht ueber den ganzen (B unten r von a) und nicht nur ueber dem B! Das ist der Unterschied, auf den SirJective hinweisen wollte.


Der Unterschied war mir nicht bewusst unglücklich
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mir auch nicht. Ich verstehe das Beispiel auch noch nicht. Wir bewegen uns in einem metrischen Raum. Was soll da eine diskrete Topologie? Wär super, wenn du das nochmal erklären könntest, Irrlicht. Danke.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

:P Sorry, ich haette diskrete Metrik schreiben sollen, anstatt diskrete Topologie!!!
Alle Punkte ausser dem Punkt selbst haben von ihm einen Abstand 1. Der Punkt zu sich selbst hat den Abstand 0. Damit sollte es dann klar sein.

EDIT: Jetzt hab ich mich doch tatsaechlich selbst verwirren lassen, habe es alles nochmal ueberprueft und denke nun aber doch wirklich, dass genau das als Gegenbeispiel gesucht war. *uff* Koennte das nochmal einer von euch durchlesen und mir Bestaetigung geben? @WF, Ben oder wer sonst noch.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, bin gerade auf der Arbeit und kann mich hier nicht wirklich konzentrieren. Mir ist noch nicht ganz klar, warum der Abschluss nur der Punkt selbst ist. Werd ich aber, wenn Bedarf ist, später noch nachholen.

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Die offene Kugel vom Radius r um einen Punkt a schreibt man gewoehnlich als
.
Den Abschluss dieser Menge schreibt man meist als
.
Der ist zu unterscheiden von der abgeschlossenen Kugel vom Radius r um den Punkt a, die ich so schreibe:
.
Was davon der Starter gemeint hat, kann nur dieser allein sagen.

Unabhaengig davon gilt in jedem metrischen Raum:
.
Und es gibt metrische Raeume, in denen die Inklusion strikt ist, wie Irrlichts Beispiel der diskreten Metrik zeigt:

Nehmen wir ganz konkret als Raum die zweielementige Menge X = {a, b}. Darauf erklaeren wir die diskrete Metrik: d(a,a) = d(b,b) = 0, d(a,b) = 1. (Du kannst dir a=0 und b=1 in den reellen Zahlen vorstellen.)

Wir betrachten die offene Kugel vom Radius 1 um a: . Die enthaelt nur den Punkt a, weil der Abstand zu b nicht mehr kleiner als 1 ist.

Die abgeschlossene Kugel vom Radius 1 um a ist .

Was ist nun die abgeschlossene Huelle von {a}? Die besteht aus allen Beruehrpunkten dieser Menge. Da gehoert offensichtlich a dazu, aber b gehoert nicht dazu, denn die Kugel hat mit {a} einen leeren Schnitt.

Gruss,
SirJective
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fuer deine Erlaeuterung. Ich hab mich nicht getraut, noch eine Kugel mit Radius 1/2 ins Spiel zu bringen, weil ich befuerchtete, dass ich da vielleicht falsch denke. Na, Gott sei Dank nicht!

Danke, Schaetzle! Mit Zunge
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe mich auch gefragt, ob das Sinn macht, wenn es als Abstand gar nicht vorkommt. Oder anders: Ob "berühren" bzgl. dieser Metrik nicht was anderes bedeutet.

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz allgemein fuer metrische Raeume ist definiert:
Ein Punkt a ist Beruehrpunkt einer Menge M, wenn in jeder offenen Kugel um a mit positivem Radius mindestens ein Punkt von M enthalten ist.

Und in diesem Beispiel erfuellt b bzgl. der Menge {a} diese Bedingung fuer r=1/2 nicht, ist also kein Beruehrpunkt.

Diese Kugel vom Radius 1/2 ist uebrigens ein Beispiel dafuer, dass die offene Kugel auch mal dasselbe wie die abgeschlossene Kugel sein kann.

Gruss,
SirJective

PS: In reellen Vektorraeumen egal mit welcher Norm sollte das nicht auftreten. Deshalb ist mir schon verstaendlich, dass WebFritzi mit dieser Vorstellung Startprobleme hat. Die hatte ich auch, als ich einen Raum kennengelernt hab, in dem alle Dreiecke (definiert als Tupel von Abstaenden d(x,y), d(y,z), d(z,x)) gleichseitig oder gleichschenklig mit kuerzerer Basis sind.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke @Irrlicht und Sir. Das hab ich echt noch nicht gewusst. Das kommt daher, dass ich immer mit diesen Norm-Metriken rumwusele. Vielen Dank für die Aufklärung. Tanzen
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