Beweis von surjektiv, injektiv - eigentlich klar, aber wie formulieren

03.11.2008, 00:14	frank1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von surjektiv, injektiv - eigentlich klar, aber wie formulieren Hallo! Wir sollen folgende Funktion auf injektiv, surjektiv und bijektiv untersuchen: $\begin{eqnarray} f_1 : \mathbb N \rightarrow \mathbb N,~ f_1(x) = \text{ Quersumme von x} \end{eqnarray}$ Dass das Ding nicht injektiv ist, ist logisch. Das haben wir mit $\begin{eqnarray} f(31)=4=f(13) \end{eqnarray}$ gezeigt. Dass es surjektiv sein muss, ist uns auch klar, weil man für beliebig große x Werte ja jeden y Wert bekommt. Leider wissen wir nicht, wie man das beweisen bzw. zeigen soll. Wir wollen folgendermaßen argumentieren: Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von anderen natürlichen Zahlen darstellen. Da $\begin{eqnarray} x\in \mathbb N \end{eqnarray}$ beliebig groß werden kann, stehen für $\begin{eqnarray} y = Quersumme von x \end{eqnarray}$ beliebig viele Summanden der größe 0 bis 9 zur Verfügung. Somit lässt sich jedes $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ darstellen. Kann uns das jemand mal in "Mathematisch" übersetzen? tigerbine: latex
03.11.2008, 00:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht so? Ich würde es so versuchen nehmt doch mal an, es gäbe eine natürliche Zahl n, die nicht in der Bildmenge liegt. Nun ist die Zahl $\begin{eqnarray} \underbrace{11...1}_{n-Stellen} \end{eqnarray}$ doch sicherlich in der Definitionsmenge vorhanden. Ihre Quersumme ist $\begin{eqnarray} \sum_{1}^n~1 = n \end{eqnarray}$ Damit war die Annahme falsch und die Abbildung ist surjektiv.
03.11.2008, 08:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
@tigerbine Warum der Widerspruchsbeweis? Das Argument ist offensichtlich ja ein direkter Beweis. Gerade Studienanfänger, die oft zum Widerspruchsbeweis tendieren, sollte man zeigen das es auch oft direkt geht.
03.11.2008, 10:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass diese Tendenz besteht war mir nicht bewusst, ist mir eher genau andersherum begegnet. Aber du hast Rest, das Argument ist direkt und man kann es auch so aufschreiben. Grüße
03.11.2008, 22:46	frank1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe! Haben's trotzdem mit dem Widerspruch gemacht, ist ja eigentlich eine triviale Aufgabe. Oft ist es garnicht so schwer, solche Beweise in einfachen Sätzen auszuformulieren. Nur das mathematische aufschreiben ist dann das Problem.

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