Beweis: Ereignisse stochastisch unabhängig

14.08.2006, 14:33

MadMan

Beweis: Ereignisse stochastisch unabhängig

Hallo zusammen,

mein Problem ist folgendes zu beweisen:

- man hat gemischtes Kartenspiel mit liniear anordbaren Karten: 1,....,N

- Ai:=die i'te gezogene ist Karte kleiner als alle Vorgänger-Karten

Dass P(Ai)=1/i ist leuchtet mir ein aber wie kann man beweisen, dass die Ereignisse Ai,....,An stochastisch unabhängig sind???

Danke

14.08.2006, 15:33

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Die Eigenschaft der Unabhängigkeit ist viel besser zu verstehen, wenn man sich klarmacht, dass diese Aussage und auch die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(A_i)=\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ nicht nur für Permutationen der Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,\ldots,N \end{eqnarray*}$ , sondern auch für Permutationen von beliebigen, aber verschiedenen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ natürlichen Zahlen gilt. Dann kann man sich das rekursiv - oder genauer gesagt: vollständig induktiv - zusammenbasteln.

14.08.2006, 17:10

MadMan

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danke für die schnelle antwort.

das $\begin{eqnarray*} $P(A_{i})=\frac{1}{i}$ \end{eqnarray*}$ ist brauche ich für den eigentlichen beweis der Unabhängigkeit doch nicht oder?

Was ist mit den verschiedenen $\begin{eqnarray*} $N$ \end{eqnarray*}$ gemeint? Soll ich ganz normal eine Induktion aufdröseln, etwa so:

$\begin{eqnarray*} $N=1 klar\\<br /> N=2:\\<br /> P(A_{1})=1, P(A_{2}=\frac{1}{2})\\<br /> P(A_{1}\cap A_{2}) = 1/2 = P(A_{1}) P(A_{2}) \end{eqnarray*}$
Für ein n gelte: .... usw.

Oder bin ich da auf dem völlig falschen Dampfer? verwirrt

14.08.2006, 17:44

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Zitat:

Original von MadMan
Was ist mit den verschiedenen $\begin{eqnarray*} $N$ \end{eqnarray*}$ gemeint?

Da hast du vergessen, den Satz weiterzulesen: Die Rede war von verschiedenen natürlichen Zahlen, $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ an der Zahl. Verteufeltes Deutsch... Teufel

Zum Sachverhalt: Wenn du nachweisen sollst, dass $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_N \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, genügt aber nicht der Nachweis von

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_N) = \prod\limits_{i=1}^N ~ P(A_i) \end{eqnarray*}$

Der ist leicht, denn $\begin{eqnarray*} A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_N \end{eqnarray*}$ kann nur für die Permutation $\begin{eqnarray*} N,N-1,\ldots,2,1 \end{eqnarray*}$ eintreten, also nur für eine von insgesamt $\begin{eqnarray*} N! \end{eqnarray*}$ Permutationen, nach Laplace haben wir dann

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_N) = \frac{1}{N!} \end{eqnarray*}$

und das ist auch das, was beim Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten rechts herauskommt, fertig.

Nein, was du tatsächlich nachweisen musst, ist noch etwas mehr: Dass nämlich für jede Indexauswahl $\begin{eqnarray*} 1\leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k\leq N \end{eqnarray*}$ auch die Produktformel

$\begin{eqnarray*} P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}) = \prod\limits_{j=1}^k ~ P(A_{i_j}) \end{eqnarray*}$

gilt!

14.08.2006, 17:54

MadMan

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ich bins nochmal:

falls die induktionsidee im ansatz richtig ist gilt es doch zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} $P(A_{1}\cap...\cap A_{N+1}) = P(A_{1})\cdot \dots \cdot P(A_{N+1}) \end{eqnarray*}$
damit die unabhängig sind oder nicht?
Kann man dann ohne beweis vorraussetzen das gilt:
$\begin{eqnarray*} P(A_{1}\cap...\cap A_{N})=\frac{1}{N!} \end{eqnarray*}$ da die ereignisse ja nur eine permutation gemeinsam haben? dann wäre doch
$\begin{eqnarray*} P(A_{1})\cdot \dots \cdot P(A_{N+1}) =P(A_{1}\cap...\cap A_{N})P(A_{N+1}) (IV) = \frac{1}{N!} \cdot P(A_{N+1}) =\frac{1}{N!} \cdot \frac{1}{N+1} =\frac{1}{(N+1)!} =P(A_{1}\cap...\cap A_{N+1}) \end{eqnarray*}$
aber das ist irgendwie.... zu einfach oder smile

14.08.2006, 18:05

MadMan

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ah jetzt war ich zu langsam :-) hab ich mir doch gleich gedacht dass ich mir das zu leicht mache.

mhhh... hab ich das mit der induktion denn dann nicht für jede indexauswahl bewiesen? verwirrt

16.08.2006, 10:05

MadMan

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Bin ich so ein hoffnungsloser Fall? Augenzwinkern

16.08.2006, 10:36

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Das nicht, aber langjährige Forumsteilnehmer können dir eine meiner Hauptschwächen bestätigen: Ich wiederhole mich nur ungern, deswegen könnte ich auch nie Lehrer sein. smile

In diesem Fall hier habe ich bereits in meinem letzten Beitrag gesagt, dass der Beweis von

$\begin{eqnarray*} $P(A_{1}\cap...\cap A_{N}) = P(A_{1})\cdot \dots \cdot P(A_{N}) \end{eqnarray*}$

(ob nun durch Induktion oder wie auch immer) nicht ausreichend ist zum Beweis der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_N \end{eqnarray*}$ . Dein Induktionsbeweis ist somit zwar richtig, genügt aber eben nicht.

EDIT: Ich will's dir mal an einem einfachen Beispiel erläutern:

Wir würfeln mit einem Oktaeder, d.h., die Augenzahlen 1..8 kommen jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/8 vor. Jetzt betrachten wir die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A &=& \{ 1,2,3,4 \}\\ B &=& \{ 1,2,3,5 \}\\ C &=& \{ 1,6,7,8 \} \end{eqnarray*}$

Dann gilt zwar $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C)= P(\{1\})=\frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(A)\cdot P(B)\cdot P(C) \end{eqnarray*}$ , die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ sind aber dennoch nicht unabhängig, wie man z.B. leicht an

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)= P(\{1,2,3\}) = \frac{3}{8} \neq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$

sieht.

16.08.2006, 11:58

MadMan

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Ahhh na klar... Hammer

jetzt ist es drin. Danke nochmal, das Beispiel hat mir die Augen geöffnet. Dann ist der beweis aus meinem 3. Post ja nutzlos, bzw. er beweist nur N Fälle, aber ich müsste das für jede beliebige Teilmenge beweisen?!Da hab ich mir glaub ich zu viel vorgenommen Augenzwinkern

ich werds mal versuchen, hab ja noch ne Woche Zeit.......

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