Schwerpunkt I

14.08.2006, 15:39

Marleen

Schwerpunkt I

Hallo!

Ich möchte den Schwerpunkt von der Gleichung $\begin{eqnarray*} 4x^2+36y^2=100 \end{eqnarray*}$ im ersten Quadranten berechnen.

Die Fläche ist
A = $\begin{eqnarray*} A= \int_{0}^{5/3}~\sqrt{25-9y^2} ~dy = 6,54 \end{eqnarray*}$ Das Ergebnis habe ich in einem "Function Calculator" aus dem Internet überprüft.

So jetzt zu den Momenten:

$\begin{eqnarray*} M_x = \int_{}^{}~ \int_{R}^{}~y~ ~dA = \int_{0}^{5/3}~ \int_{0}^{ \sqrt{25-9y^2} }~y~dx ~dy = \int_{0}^{5/3}~ y \sqrt{25-9y^2} ~dy \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich wissen, ob bis hierhin alles richtig ist. Ich hab schon weitergerechnet, aber der Taschenrechner bestätigt mir den weitergerechneten Weg.

14.08.2006, 18:20

Abakus

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RE: Schwerpunkt I

Zitat:

Original von Marleen
Ich möchte den Schwerpunkt von der Gleichung $\begin{eqnarray*} 4x^2+36y^2=100 \end{eqnarray*}$ im ersten Quadranten berechnen.

Die Fläche ist
A = $\begin{eqnarray*} A= \int_{0}^{5/3}~\sqrt{25-9y^2} ~dy = 6,54 \end{eqnarray*}$ Das Ergebnis habe ich in einem "Function Calculator" aus dem Internet überprüft.

Du meinst den Schwerpunkt einer Fläche A, die genau 1/4 einer Ellipse ist (nicht den SP einer Gleichung). Die Fläche kriegst du mit der Ellipsenformel für die Fläche genau, du brauchst nur die beiden Halbachsen bestimmen:

$\begin{eqnarray*} F_A = \frac{ab}{4}\cdot \pi = \frac{25 \pi}{12} \end{eqnarray*}$

Zitat:

So jetzt zu den Momenten:

$\begin{eqnarray*} M_x = \int_{}^{}~ \int_{R}^{}~y~ ~dA = \int_{0}^{5/3}~ \int_{0}^{ \sqrt{25-9y^2} }~y~dx ~dy = \int_{0}^{5/3}~ y \sqrt{25-9y^2} ~dy \end{eqnarray*}$

Aus meiner Sicht müsstest du berechnen (wenn du die x-Koordinate des SP haben willst):

$\begin{eqnarray*} M_x = \int_{}^{}~ \int_{R}^{}~x~dA \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_s = \frac{M_x}{F_A} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

EDIT 1-3: Latex

14.08.2006, 21:41

Marleen

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Deine ausgerechnete Fläche $\begin{eqnarray*} \frac{25\pi }{12} \end{eqnarray*}$ stimmt mit meinen 6,54 überein. Also das habe ich schon mal richtig smile

Ich habe das Buch "Schaum's Outlines Calculus Forth Edition" vor mir liegen und dort steht bei jeder Schritt-für-Schritt-Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} M_x = \int_{}^{}~ \int_{R}^{}~y~ ~dA \end{eqnarray*}$

(Das folgende y ist ein y mit einem Balken darüber, aber ich finde dieses Zeichen nicht bei Latex)
$\begin{eqnarray*} y = \frac{M_x}{A} \end{eqnarray*}$

Anscheinend muss also immer auf den *ersten* Blick immer "widersprüchlich" aufgeschrieben werden

Das Ergenis soll laut Lehrer sein:
(x und y haben Balken über sich)
$\begin{eqnarray*} x= \frac{20}{3\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \frac{20}{9\pi } \end{eqnarray*}$

14.08.2006, 23:19

Marleen

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Mit dem Moment $\begin{eqnarray*} M_y \end{eqnarray*}$ hatte ich mehr Erfolg:

$\begin{eqnarray*} M_y = \int_{0}^{5/3}~ \int_{0}^{ \sqrt{25-9y^2} }~x~dx ~dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{5/3}~ [x^2]_{0}^{ \sqrt{25-9y^2} } ~dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{5/3}~(25-9y^2)~dy= \frac{1}{2} [25y-3y^3]_{0}^{5/3} = \frac{125}{9} + C \end{eqnarray*}$

Dann die Koordinaten bestimmen:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{M_y}{A} = \frac{ \frac{125}{9} }{ \frac{25 \pi }{12} } = \frac{20}{3 \pi } \end{eqnarray*}$ Und damit ist es richtig gerechnet.

So, es wäre toll wenn noch jemand mir beim Ansatz von $\begin{eqnarray*} M_x \end{eqnarray*}$ hilft smile

15.08.2006, 01:02

Abakus

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RE: Schwerpunkt I
OK, dann haben wir dieselbe Berechnungsweise, aber andere Bezeichnungen. Was dir nun noch fehlt, ist folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{5/3}~ y \sqrt{25-9y^2} ~dy \end{eqnarray*}$

Weiterkommen kannst du hier zB mit einer geeigneten Substitution und entsprechender Anwendung der Substitutionsregel.

Grüße Abakus smile

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